Dimostrazione sul valore atteso

Messaggioda WhiteSte » 17/04/2019, 18:07

$ 1-sum_( n =1 )^(oo) mathbb( P)(X< n)>=0 $ciao, di nuovo io, porto un altro quesito vero o falso, vi chiedo di verificare la mia soluzione e, se fosse errata,darmi al massimo un indizio verso la soluzione esatta, vorrei riuscire a farlo da solo.

Testo del problema:
Sia $X$ una v.a. discreta a valori non-negativi, allora $E[X ]= sum_( n =1 )^(oo) mathbb( P)(X ≥ n)$


Soluzione
$X$ viene definita come positiva quindi $mathbb(P)(X>=0)=1$ (non sicuro di questo passaggio)
Se così fosse, per una proposizione dimostrata a lezione, $E[X] >=0$

quindi
$sum_( n =1 )^(oo) mathbb( P)(X ≥ n) >=0$
$1-sum_( n =1 )^(oo) mathbb( P)(X< n)>=0$
Svolgo la sommatoria come $mathbb( P)(X=0)+mathbb( P)(X=1) + ... + mathbb( P)(X=n-1)$ che diventa $rArr sum_(i=0)^(n-1)mathbb( P)(X=i) $

$1 - sum_( i =1 )^(n) rho_x(i) >=0$
$sum_( i =1 )^(n) rho_x(i)$ è la densità di $X$ quindi diventa 1 (un altro passaggio di cui non sono sicuro)

$0>=0$ quindi la risposta è vero
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Re: Dimostrazione sul valore atteso

Messaggioda tommik » 17/04/2019, 19:50

Risultato giusto.... dimostrazione... bah non mi pare tu abbia dimostrato un gran che.

Intanto il testo è impreciso1: la variabile in questione non è vero che è definita per valori non negativi, è definita per valori INTERI non negativi, ovvero sui naturali.... e non è la stessa cosa.

Nel caso in esame, per definizione,

$mathbb{E}[X]=Sigma _n np_n$

Poniamo ad esempio $N=3$ ottenendo subito che la media è

$p_1+2p_2+3p_3=p_1+p_2+p_2+p_3+p_3+p_3=(p_1+p_2+p_3)+(p_2+p_3)+p_3$


Prosegui per induzione e risolvi

Questa è la prima cosa che mi è venuta in mente...ci sono altre vie che puoi trovare tu...

Note

  1. se hai copiato male tu stai più attento, se invece la traccia è davvero così allora abbiamo un problema perché hai postato gli ultimi due esercizi entrambi errati....se vengono dallo stesso libro cambia libro, se vengono dallo stesso prof fallo presente perché questi errori / imprecisioni sono di ostacolo alla comprensione degli argomenti (IMHO)
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Re: Dimostrazione sul valore atteso

Messaggioda WhiteSte » 17/04/2019, 21:38

Il testo è come mi è stato dato dal foglio esercizi del professore, uguale identico. Non capisco dov'è l'imprecisione, valori discreti non negativi vuol dire naturali compreso 0, come hai scritto te, come intendevo io con $X>=0$.
Poi forse mi sono spiegato male il con il titolo "dimostrazione", devo solo verificare il vero e falso, perché il mio procedimento non andrebbe bene? Mostra in pochi semplici passi che i conti tornano
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Re: Dimostrazione sul valore atteso

Messaggioda tommik » 17/04/2019, 21:44

No, per niente,

$X={{: ( 0.1 , 8 , 9.7),( 1/4, 2/4 , 1/4 ) :}$

Anche questa è una variabile discreta a valori non negativi e non è vero che

$E[X]=sum_(n=1)^(oo)P[X>=n]=P[X>=1]+P[X>=2]+...$

Per questo tipo di variabile vale una relazione simile a quella da te postata nella traccia....simile ma non quella.

Se invece la variabile è definita sui naturali (Anche incluso lo zero) allora tutto torna.



Saluti
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Re: Dimostrazione sul valore atteso

Messaggioda WhiteSte » 17/04/2019, 21:52

Capito, hai ragione, in questo corso il docente con discreto intende numeri interi, lo davo per scontato, i prossimi post sottolineo questa cosa. Comunque l'importante è essere arrivato alla soluzione corretta, anche se il procedimento è grezzo vuol dire che qualcosa sto imparando spero
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Re: Dimostrazione sul valore atteso

Messaggioda tommik » 18/04/2019, 08:42

WhiteSte ha scritto:... in questo corso il docente con discreto intende numeri interi


mi astengo dal fare qualsivoglia commento in merito.



Comunque, per aiutarti a capire, ci provo, per l'ultima volta, a dirti le stesse cose che ho scritto prima ma con parole diverse; se non dovesse essere chiaro nemmeno così ci rinuncio. La tua dimostrazione / verifica non dimostra né verifica ciò che ti viene chiesto di verificare.

La tua variabile, come abbiamo chiarito, definita su $NN$, è la seguente

$X={{: ( 0 , ;p_0 ),( 1 ,; p_1 ),( 2 , ;p_2 ),( 3 , ;p_3 ),( ... , ... ),( n , ;p_n ) :}$

con $n$ grande quanto ti pare...

Ora ti si chiede di dimostrare / verificare che

$sum_(n=0)^(oo)nxxp_n=sum_(n>=1)mathbb{P}[X>=n]$


Questa verifica è davvero molto ma molto semplice; è sufficiente scrivere la media per esteso ed osservare che essa è la somma di tutti i seguenti elementi della matrice triangolare

${: ( p_1 , , , , , ),( p_2 , p_2 , , , , ),(p_3 , p_3 ,p_3 , , ,),( ... , ... ,... , ... , , ),( p_(n-1) , p_(n-1) ,p_(n-1) , p_(n-1) , , ),( p_(n) , p_(n) ,p_(n) , p_n , p_n , ) :}$

Ora è evidentissimo che la media scritta come nel membro di sinistra è raggruppata per righe (la somma di ogni riga della matrice rappresenta ogni elemento della sommatoria) mentre quella scritta nel membro di destra è raggruppata per colonne (la somma di ogni colonna rappresenta ogni singolo elemento della somma)

spero di essermi spiegato bene

Tengo a precisare che quanto scritto sono solo consigli che puoi seguire o meno, a tuo piacimento

cordiali saluti
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Re: Dimostrazione sul valore atteso

Messaggioda WhiteSte » 18/04/2019, 10:19

chiaro il concetto, io ho solo dimostrato che la sommatoria data dal testo è positiva, ma non per forza che sia la stessa. Per risolvere l'esercizio ho svolto le due somme in modo da arrivare alla stessa forma finale, ora provo anche con l'induzione!
Molto utile come sempre, ti vorrei come profe
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Re: Dimostrazione sul valore atteso

Messaggioda tommik » 18/04/2019, 11:08

giusto per terminare (ed ampliare) il discorso così può essere utile anche ad altri, in generale, per variabili aleatorie qualsiasi, la media è così definita

$mathbb{E}[X]=int_(Omega)xdF(x)$


Ora se restringiamo il campo alle variabili assolutamente continue (la dimostrazione è più facile nel continuo anche se può essere estesa anche al discreto) l'interpretazione geometrica della media è questa

Immagine

In formule:

$mathbb{E}[X]=int_(-oo)^(+oo)xf(x)dx=-int_(-oo)^(0)F(x)dx+int_(0)^(+oo)[1-F(x)]dx=I_1+I_2$

Agevolmente vediamo che (svolgendo l'integrale per parti)

$I_1=-{[xF(x)]_(-oo)^(0)-int_(-oo)^(0)xf(x)dx}=int_(-oo)^(0)xf(x)dx$

e ciò in quanto

$lim_(x rarr -oo)-xF(x)=oo*0=-x/(1/(F(x))) \stackrel(" de l'Hôpital ")rarr F^2/f=0$

allo stesso modo si ottiene

$I_2=int_(0)^(+oo)xf(x)dx$

che dimostra la tesi

(il tuo esercizietto è preso da questo fatto noto, semplificando un po' la questione qua e là....)

:smt039
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