Relatività e tempo

Messaggioda Aletzunny » 17/05/2019, 10:14

Oggi ci è stata spiegata la "contrazione" del tempo in relatività ma non ho capito molto bene

Ho intuito dalla spiegazione che un oggetto in "movimento" misura un tempo minore rispetto a uno "fermo", ma non ho capito come è la formula e cosa si intende per osservatore solidale .
Detti
$t$=tempo oggetto fermo
$T$=tempo oggetto in movimento

$t=T/(sqrt(1-(b)^2))$ dove $b=V/c$
È corretta questa formula?

Inoltre, non essendomi chiara la questione, non capisco neanche questo problema

"Un osservatore $A$ misura un tempo $t0$ e un osservatore $B$ misura un tempo $1,001*t0$.
Stabilire con quale dei due osservatori l'evento risulta solidale".

Grazie
Aletzunny
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Re: Relatività e tempo

Messaggioda Shackle » 17/05/2019, 17:20

Oggi ci è stata spiegata la "contrazione" del tempo in relatività...


"Contrazione del tempo" non è il modo di dire più corretto. Un modo migliore è : " Rallentamento degli orologi in moto rispetto a quelli di quiete" , ma neanche questa dizione rende ragione piena e chiara di quello che succede. Occorre qualche spiegazione in più.

Spero ti sia chiaro , prima di tutto, che cosa debba intendersi per "osservatore inerziale" . Diciamo che si tratta di osservatori che, non sottoposti a forze e neppure a campi gravitazionali , si muovono a velocità costante rispetto al riferimento delle cosiddette stelle fisse ( che fisse non sono...). Questa è una definizione classica, ma si potrebbero fare mille obiezioni. Noi invece ci accontentiamo, e prendiamo atto di un principio molto importante : osservatori inerziali diversi descrivono i fenomeni fisici alla stessa maniera. Due OI , in moto relativo tra loro , sono dotati di orologi per misurare intervalli di tempo, e righelli per misurare distanze, tra "eventi" che si verificano nello spaziotempo; che cosa è un "evento" ? È un fatto che accade in un certo punto dello spazio e in un dato istante di tempo, indipendentemente da chi lo sta osservando.
Prendiamo allora due osservatori A e B , in moto relativo tra loro, con una certa velocità relativa $vecv = "cost" $ . Di solito , si assume che il moto relativo avvenga lungo la direzione dell'asse $x$ assegnato a uno dei due, supponiamo $A$. Assumiamo che $A$ sia in "quiete" , quindi $B$ si muove con la velocità detta rispetto ad $A$.
Detta : $(O,x,y,z) $ una terna cartesiana di $A$ , e $(O',t',x',y',z')$ una terna cartesiana di $B$ , questa scorre su quella di $A$ lungo il comune asse $x=x'$, con velocita $v$.
Supponiamo dati due eventi $E_1$ ed $E_2$ nello spaziotempo ; sia $A$ che $B$ misurano la distanza spaziale tra gli eventi , che per semplicità supponiamo abbiano luogo sull'asse $x$ per $A$ , e perciò su $x'$ per $B$; i due misurano anche l'intervallo di tempo tra gli stessi, ciascuno di essi fa le misure col suo righello e col suo orologio. In generale , si dimostra che il cosiddetto "intervallo spazio-temporale" tra eventi , e cioè la quantità seguente :

$(cDeltat)^2 - (Deltax)^2 = (cDeltat')^2 - (Deltax')^2$

è invariante per i due osservatori ( anzi, per quanti OI vuoi ! Dipende solo dagli eventi stessi! ) ; di solito questa invarianza si dimostra dopo aver studiato le trasformazioni di Lorentz, che in RR sostituiscono le trasformazioni di Galileo. Ma non è difficile dimostrare l'invarianza dell'intervallo direttamente. Per esempio, v. il testo di Landau-Lifshitz "Teoria dei campi" , nelle prime pagine . Prendiamo ora per buono questo fatto.
Consideriamo due eventi come questi : l'osservatore $B$ , che si trova in un'astronave in moto rispetto ad A, accende un accendino che ha in mano; quindi : $E_1$ = accensione . Dopo un po', B spegne l'accendino ; quindi : $E_2$ = spegnimento. I due eventi sono separati , per B , solo nel tempo proprio $Deltat'$ , non sono separati certo nella coordinata spaziale $Deltax'$ , perchè B è rimasto fermo nella sua astronave, che è il suo riferimento . Invece , rispetto ad $A$ c'è sia separazione spaziale $Deltax$ che separazione temporale $Deltat$ , quindi l'invarianza dell'intervallo diventa :

$(cDeltat)^2 - (Deltax)^2 = (cDeltat')^2 $

da cui : $1-1/c^2((\Deltax)/(\Deltat))^2 = ((\Deltat')/(\Deltat))^2$

e dopo alcuni passaggi, tenendo conto che $((Deltax)/(Deltat) ) = v $ è la velocità con cui B si sposta rispetto ad A , si ha :

$Deltat' = Deltat*sqrt (1-beta^2) $

in cui $\beta = v/c$ è il rapporto tra velocità di B e velocità della luce, sempre minore di 1 per corpi materiali. È evidente , da quanto detto , che risulta :

$Deltat' < Deltat $

di solito ci si riferisce all'inverso di quella radice, che prende il nome di fattore di Lorentz $gamma = (1-beta^2)^(-1/2) $ , numero maggiore di 1 per $v>0$ . Solo se $v=0$ risulta $gamma = 1$ .

Quanto sopra permette di dire che la differenza di tempo proprio di $B$ ( cioè $Deltat'$ ) tra due eventi è minore della differenza di tempo coordinato di $A$ (cioè $Deltat$ ) tra gli stessi eventi . Questo è il significato della frase un po; ambigua :" Il tempo degli orologi in moto scorre più lentamente" .
Potresti pensare che questo sia valido solo per eventi che avvengono "proprio attaccati" a $B$ , come nell'esempio fatto. Invece no, è un fatto più generale. Ma qui non possiamo scendere tanto nei dettagli.

Una cosa molto importante da dire è questa : per verificare che l'orologio di B , in moto rispetto ad A , rallenta il suo andamento rispetto all'orologio di A , occorre che l'orologio di B venga confrontato almeno con due orologi di A; non ha senso parlare di rallentamento di orologi in moto in assoluto ; l'astronauta B non si accorge affatto che il suo tempo ( definito "il tempo proprio") sta scorrendo più lentamente rispetto al "tempo coordinato" di A . SE il cuore di B fa 70 bpm a terra, continua a fare 70 bpm anche se la sua astronave viaggia a $0.9c$ rispetto ad A che è rimasto a terra .

Di seguito ho messo dei link a vecchie discussioni sull'argomento, dove puoi trovare altre informazioni.

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... to#p647809

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... to#p945498

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 35#p813457

Inoltre ti raccomando di cercare dei buoni libri, o anche buone dispense sul web ( ce n'è una marea dilagante, ma è difficile scegliere...) per approfondire certe questioni. Per esempio, proprio oggi ho scoperto che articolo in inglese sulla relatività speciale è stato rieditato neanche un mese fa :

https://en.wikipedia.org/wiki/Special_relativity

in fondo a questo articolo , trovi una sezione dedicata ai principianti . Guardaci, ci sono vari collegamenti buoni. Se vuoi ti do qualche suggerimento, per esempio queste note dell'università della Virginia:

http://www1.phys.vt.edu/~takeuchi/relativity/notes/


In quanto al tuo esercizio, dovrebbe essere chiaro qual è il tempo proprio e quale quello coordinato, come si fa trovare la velocità relativa, e a quale osservatore l'evento è solidale. Per inciso, il testo di quell'esercizio è scritto malissimo, in modo da non far capire che cosa si chiede, e questo è deleterio, a mio avviso. La prima cosa in RR è la chiarezza.

Non mi illudo che sia tutto chiaro (a proposito di chiarezza...) , quindi se hai domande falle pure.
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Re: Relatività e tempo

Messaggioda Aletzunny » 17/05/2019, 19:04

Allora onestamente dalla dimostrazione ho capito poco poco...ma ho rimediato da mio fratello il suo ex libro del liceo della Zanichelli e ho visto che mette una formula finale simile con la tua dimostrazione

$delta(t')= (delta(t))/(sqrt(1-beta^2))$

Ma non ho davvero capito cosa voglia intendere con quei due delta...
Inoltre non capisco una cosa...tu parli di osservatore inerziale... il testo di osservatore solidale...cosa cambia? E cosa intende con solidale...

Inoltre l'affermazione sul tempo... cioè che un oggetto in movimento rispetto ad un altro sistema fermo misura un tempo minore è vera quindi?

Infine, seppur molto ambiguo, la soluzione dell'esercizio è A giusto?

Grazie
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Re: Relatività e tempo

Messaggioda Shackle » 17/05/2019, 21:10

Vedo che hai afferrato poco, ma forse è colpa mia.La relatività è concettualmente difficile, anche se la matematica, almeno quella della RR, è semplice.
Quei due “Delta t “ sono due intervalli di tempo, misurati tra gli stessi due eventi da osservatori diversi, che sono in moto relativo uno rispetto all’altro. Se A si considera in quiete, B si considera in moto rispetto ad A. I loro orologi non battono il tempo alla stessa maniera: quello in moto batte il tempo più lentamente rispetto a quello in quiete. Le differenze tra i loro ritmi si vedono confrontando gli orologi di B con quelli di A. Quindi è vero, l'intervallo temporale tra due eventi è diverso se misurato da due osservatori in moto relativo.
Non insisto, devi approfondire i concetti, poche righe di un post non bastano, e neppure una formula trovata in un libro.
“Osservatore inerziale “ vuol dire una cosa, “ oss. solidale “ a un evento vuol dire un’altra cosa. " Solidale" vuol dire che ci sta attaccato. Nel mio esempio, è B che è solidale all’accendino , lo tiene in mano! E B misura il tempo proprio tra i due eventi, che è minore del tempo coordinato misurato da A. Sia A che B sono tuttavia osservatori inerziali .

Nel tuo esercizio , è solidale all’evento quello che misura il tempo proprio, più piccolo del tempo coordinato. Cioè, è appunto A che misura $t_0$.

Mi spiace, non so fare meglio di così. Cerca qualche corso sul web , per esempio quello di Boschetto , che non è difficile; o Casalbuoni, o Colferai (piu difficili)...o altri mille. E chiedi al tuo docente.
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Re: Relatività e tempo

Messaggioda Aletzunny » 18/05/2019, 16:57

Parlando molto più "terra a terra"...
Per una verifica e in vista della maturità cosa dovrei sapere bene di questo argomento?

Grazie
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Re: Relatività e tempo

Messaggioda Shackle » 18/05/2019, 20:10

È difficile risponderti, perché non so di che cosa avete parlato durante le lezioni.

I due principï su cui si fonda la teoria sono fondamentali : 1) Il principio di relatività, che puoi trovare descritto dappertutto , ma è sostanzialmente lo stesso della meccanica classica ; e 2) il postulato della invarianza della velocità della luce $c$ in tutti i riferimenti inerziali, cioè rispetto a tutti gli osservatori inerziali , qualunque sia la loro velocità. Questo secondo punto deriva innanzitutto dalle equazioni di Maxwell dell'elettromagnetismo, e Einstein lo assunse come principio per la sua teoria.

Un punto importante, che discende dai principi detti, è la relatività della simultaneità : se due eventi $E_1$ ed $E_2$ sono simultanei per un osservatore $A$ , non lo sono più per un osservatore $B$ che è in moto relativo rispetto ad $A$ . Su questo si basa tutto l'edificio della RR ( e altro...) .

Orologi "in moto", rispetto a orologi "in quiete" , rallentano il loro ritmo . Un secondo misurato da un orologio in moto è più lungo di un secondo misurato da uno in quiete. Questo effetto si vede solo confrontando l'orologio in moto con due o più orologi in quiete ( stiamo parlando di osservatori inerziali, quello in moto ha velocità relativa $vecv = "cost" $ rispetto a quello in quiete). La dilatazione del tempo per gli orologi in moto è evidenziata dal fattore di Lorentz, numero maggiore di 1 , che mette in relazione un intervallo di tempo tra due eventi, misurato dall'orologio in quiete : $Deltat$ (= tempo coordinato) , con l'intervallo di tempo $Delta t' $ (=tempo proprio) misurato da quello in moto che passa dai due eventi ; si ha infatti :$Deltat =gamma Delta t' $ . Più correttamente, la relazione si scrive per tempi infinitesimi : $ dt = gammadt'$ (e vale anche per altri tipi di osservatori , ma non voglio complicarti la vita).

Fenomeno correlato a questo è la "contrazione delle lunghezze" . Non ne abbiamo parlato , ma lo trovi nei link che ti ho dato.

Ancora, ma è gia un concetto piu avanzato, c'è l'invarianza dell'intervallo spazio-temporale, a cui ho fatto cenno, tra due eventi , rispetto a due diversi osservatori inerziali.

Se vuoi proprio fare un figurone, potresti imparare l' orologio a luce : è stato descritto in varie occasioni nel forum. lo puoi trovare usando la funzione " cerca..." . Mi pare che sia citato anche in uno dei link che ti ho dato.

Ci sarebbero tante altre cose da dire, ma non saprei che cosa suggerirti. Forse è gia troppo questo.
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