Omomorfismi

Messaggioda ProPatria » 05/12/2019, 01:44

Ciao. Ho due esercizi:
1)Determina tutti gli omomorfismi $ ZZ/(12ZZ)rarrZZ/(8ZZ) $.
2)Determina tutti gli omomorfismi $ ZZ/(12ZZ)rarrZZ/(6ZZ) $.
Ne ho trovati alcuni, in particolare:
1) $ [X]_12 rarr [X]_6 $, $ [X]_12 rarr [X]_4 $, $ [X]_12 rarr [X]_3 $, $ [X]_12 rarr [X]_2 $ e ovviamente quello banale $ [X]_12 rarr [X]_1 $.
2) analogamente ho tutti quelli $ [X]_12 rarr [X]_a t.c. a|12 $.
Credevo che questi fossero gli unici, ma poi mi sono accorto che, ad esempio nel 2), anche $ [X]_12 rarr -[X]_6 $ lo è, allo stesso modo ho che gli opposti di tutti gli omomorfismi precedenti sono a loro volta omomorfismi.
Per riassumere:
$ [X]_12 rarr [X]_a t.c. a|12$ e $ [X]_12 rarr -[X]_a t.c. a|12$ sono tutti omomorfismi che soddisfano entrambi gli esercizi, in particolare perché tutti i divisori di 12 sono minori o uguali di 6 e 8.
Ce ne sono altri? È possibile determinare una regola generale?
Non chiedo la risoluzione degli esercizi ma dei suggerimenti.
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Re: Omomorfismi

Messaggioda jinsang » 06/12/2019, 10:49

ProPatria ha scritto:È possibile determinare una regola generale?


Se $G$ è un gruppo ciclico, un omomorfismo $\phi: G->H$ è univocamente determinato dall'immagine di un generatore. Prova a rivedere tutto in quest'ottica e a rifare l'esercizio.
P.S. non capisco che notazione stai usando, cosa intendi con $[X]_n$?
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Re: Omomorfismi

Messaggioda Alin » 07/12/2019, 15:23

Non so che calcoli ha fatto $ProPatria$,ma i possibili omomorfismoi tra $Z_12 rarr Z_8$ a me risultano $4$:
$ φ([x]_12) = [0x]_8 $ che é quello banale
$ φ([x]_12) = [4x]_8 $
$ φ([x]_12) = [2x]_8 $
$ φ([x]_12) = [6x]_8 $
Mentre da
$Z_12 rarr Z_6$ me ne risultano $6$
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Re: Omomorfismi

Messaggioda jinsang » 07/12/2019, 19:04

Sono d'accordo @Alin :smt023
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Re: Omomorfismi

Messaggioda ProPatria » 08/12/2019, 01:41

jinsang ha scritto:
ProPatria ha scritto:È possibile determinare una regola generale?


Se $G$ è un gruppo ciclico, un omomorfismo $\phi: G->H$ è univocamente determinato dall'immagine di un generatore. Prova a rivedere tutto in quest'ottica e a rifare l'esercizio.
P.S. non capisco che notazione stai usando, cosa intendi con $[X]_n$?


Purtroppo quelli di generatore e di ciclicità sono concetti che ancora non conosco. La notazione $[X]_n$ si riferisce alla classe di equivalenza di X modulo n, dunque gli omomorfismi che ho trovato nel primo esercizio (che sono in altre parole $ phi ([x] _12)=[x]_8 $ etc.) sono tutti quelli che "inviano" ogni classe di equivalenza di X modulo 12 nella classe di equivalenza di X modulo $ a $, dove $ a $ è divisore di 12 e minore o uguale di 8. Credi sia corretto?
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Re: Omomorfismi

Messaggioda jinsang » 08/12/2019, 03:12

ProPatria ha scritto:La notazione $ [X]_n $ si riferisce alla classe di equivalenza di X modulo n, dunque gli omomorfismi che ho trovato nel primo esercizio (che sono in altre parole $ phi ([x] _12)=[x]_8 $ etc.) sono tutti quelli che "inviano" ogni classe di equivalenza di X modulo 12 nella classe di equivalenza di X modulo $ a $, dove $ a $ è divisore di 12 e minore o uguale di 8. Credi sia corretto?


Credo che tu stia facendo confusione. Il codominio è \(\mathbb{Z}/{8\mathbb{Z}}\), chi è \([1]_6\) in \(\mathbb{Z}/{8\mathbb{Z}}\)? Ha senso questa domanda?
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Re: Omomorfismi

Messaggioda ProPatria » 08/12/2019, 19:07

jinsang ha scritto:
ProPatria ha scritto:La notazione $ [X]_n $ si riferisce alla classe di equivalenza di X modulo n, dunque gli omomorfismi che ho trovato nel primo esercizio (che sono in altre parole $ phi ([x] _12)=[x]_8 $ etc.) sono tutti quelli che "inviano" ogni classe di equivalenza di X modulo 12 nella classe di equivalenza di X modulo $ a $, dove $ a $ è divisore di 12 e minore o uguale di 8. Credi sia corretto?


Credo che tu stia facendo confusione. Il codominio è \(\mathbb{Z}/{8\mathbb{Z}}\), chi è \([1]_6\) in \(\mathbb{Z}/{8\mathbb{Z}}\)? Ha senso questa domanda?


Ora che mi ci fai pensare no... Grazie per la pazienza.
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Re: Omomorfismi

Messaggioda jinsang » 08/12/2019, 20:21

ProPatria ha scritto:Ora che mi ci fai pensare no... Grazie per la pazienza.

Di niente :-) .

Se vuoi accettare un consiglio:
Prendi il tuo libro di algebra e studiati la parte relativa ai gruppi ciclici, assicurati di averla capita e di aver bene presente che cos'è un omomorfismo di gruppi, poi prova a pensare di nuovo all'esercizio tenendo presente ciò:
Se G è un gruppo ciclico, un omomorfismo ϕ:G→H è univocamente determinato dall'immagine di un generatore.
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