Cinematica di base e notazione di Leibniz

Messaggioda kaspar » 26/03/2020, 18:33

Ciao :smt039
\(\newcommand\d{\text{d}}\)Allora, è da un po' oramai che è iniziato il corso di Fisica Generale 1 per Matematici. Diciamo che per essere un corso dedicato a gente a cui non è stato insegnata (nemmeno citata) la notazione di Leibniz, ci sono traffici di \(\d x\), \(\d \mathbb r\) che mi lasciano un po' perplesso... Passiamo alla parte interessata, che mi sono lasciato un po' indietro per riprenderla più tardi. Quello che ho capito è questo.

Nell'introduzione alla cinematica si dice che il moto può essere descritto in maniera intrinseca ("ha una rappresentazione intrinseca"), ovvero lungo la sua traiettoria fisso un sistema di ascisse curvilinee. In tal senso il vettore posizione \(\mathbb r\) di un punto materiale è una funzione in questa ascissa. A questo punto viene introdotto il versore tangente \[
\mathbb r'(s) = \frac{\d \mathbb r}{\d s}(s) =: \mathbb u_T(s)
\] Il passo successivo, sempre a quanto ho capito io, è assegnare una nozione di velocità, data così con la notazione di Leibniz\[
\mathbb v (t) := \frac{\d \mathbb r}{\d t} (t) = \mathbb r'(t)
\] La velocità è data in funzione del tempo, così come l'ascissa curvilinea \(s\) è parmetrizzata col tempo immagino.

Perplessità. Eccola: \[
\mathbb v = \frac{\d \mathbb r}{\d t} = \frac{\d s}{\d t} \frac{\d \mathbb r}{\d s} = \frac{\d s}{\d t} \mathbb u_T
\] Per quanto ho capito della notazione di Leibniz, io mi traduco questo fatto così nel linguaggio insegnato ad Analisi 1/2 (che è la maniera più trasparente per me)\[
\mathbb v (t) = \mathbb r' (t) = s'(t) \mathbb r' (s(t)) = s'(t) \mathbb u_T (s(t))
\] Ma non dovrebbe essere \((\mathbb r \circ s') (t) = s'(t) \mathbb r' (s(t))\)? Dal punto di vista della forma mi sembra di sì. Anche se non so spiegarmi la differenza tra \(\mathbb r(t)\) e \(\mathbb r(s(t))\) nella Fisica: alla fine della fiera mi serve qualcosa che vari nel tempo ed entrambe lo fanno. Tuttavia la questione è importante, in quanto riesco a comprendere molto attraverso il formalismo.

Butto l'idea che mi sono fatto e vorrei capire se ha senso. Nella rappresentazione intrinseca di una traiettoria ho un vettore posizione in funzione dell'ascissa curvilinea sulla traiettoria del punto materiale in esame, e quindi mi aspetto un qualcosa del tipo \(\mathbb r = \mathbb r (s)\). E se voglio parametrizzare l'ascissa curvilinea con il tempo ho una legge \(\mathbb r = \mathbb r(s(t))\). In questo modo derivare \(r\) rispetto a \(t\) non ha senso, mentre la composizione \(\mathbb r \circ s\) sì.

Mi piacerebbe avere dei pareri con persone che ne sanno più di me in Fisica e capire se la mia perplessità ha un senso non solo formale.
kaspar
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Re: Cinematica di base e notazione di Leibniz

Messaggioda gugo82 » 26/03/2020, 18:46

Sisì, è la regola di derivazione della funzione composta...

Solo che, in contesti elementari, non ha un granché senso perdere tutto 'sto tempo per scrivere le cose per bene.
L'esame di Fisica I serve a capire altre cose (e.g., l'importanza delle leggi di conservazione), IMHO.
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