Disequazioni binomie e trinomie

Disequazioni binomie

Le disequazioni binomie sono disequazioni che hanno a primo membro una potenza di x, e al secondo membro un numero reale; sono quindi del tipo:

\( x^n \gt a\mbox{, } \,\,\,\,\, x^n \ge a \)

\( x^n \lt a\mbox{, } \,\,\,\,\, x^n \le a \)

con \( n \in \mathbb{N^*}\mbox{, } \,\,\, a \ne 0 \).

In particolare, nel caso in cui n = 1, le disequazioni esprimono già le loro soluzioni;
nel caso in cui a = 0, le disequazioni si trasformano in disequazioni monomie, e la loro soluzione si può facilmente dedurre.

Negli altri casi, consideriamo i due casi separatamente:

  • n dispari:

in questo caso, possiamo semplicemente porre entrambi i membri della disequazione sotto radice n-esima: in questo modo, troveremo i valori di x che soddisfano la disequazione:

\( x^n \gt a \rightarrow x \gt \sqrt[n]{a}\mbox{, } \,\,\,\,\, x^n \ge a \rightarrow x \ge \sqrt[n]{a} \)

\( x^n \lt a \rightarrow x \lt \sqrt[n]{a}\mbox{, } \,\,\,\,\, x^n \le a \rightarrow x \le \sqrt[n]{a} \)

con \( n \mbox{ dispari, } a \in \mathbb{R} \).
Vediamo alcuni esempi:

Esempio: calcoliamo la seguente disequazione: \( 8x^3 + 1 \gt 0 \)

portiamo il termine noto al secondo membro:

\( 8x^3 \gt -1 \)

dividiamo primo e secondo membro per 8:

\( x^3 \gt -\frac{1}{8} \)

calcoliamo la radice cubica del primo e del secondo membro:

\( \sqrt[3]{x^3} \gt \sqrt[3]{-\frac{1}{8}} \rightarrow x \gt -\sqrt[3]{\frac{1}{8}} \rightarrow x \gt -\frac{1}{2} \)

l’insieme delle soluzioni è dato, quindi, da:

\( S: \Big(-\frac{1}{2}; +\infty\Big) \)

  • n pari:

supponiamo che sia n = 2: sappiamo che le soluzioni della disequazione sono dati dai valori interni dell’intervallo delle radici se il segno della disequazione è \( \lt 0 \le \), sono invece i valori esterni se il segno è \( \gt 0 \ge \); questo ragionamento può essere generalizzato nel caso di qualunque indice \( n \mbox{ pari, } a \gt 0 \):

\( x^n \gt a \rightarrow x \lt -\sqrt[n]{a} \vee x \gt \sqrt[n]{a} \)

\( x^n \ge a \rightarrow x \le -\sqrt[n]{a} \vee x \ge \sqrt[n]{a} \)

\( x^n \lt a \rightarrow -\sqrt[n]{a} \lt x \lt \sqrt[n]{a} \)

\( x^n \le a \rightarrow -\sqrt[n]{a} \le x \le \sqrt[n]{a} \)

Ricordiamo che questo ragionamento può essere applicato solo nel caso in cui il radicando a sia positivo.

Esempio: calcoliamo la seguente disequazione: \( 2x^4 – 3 \lt 0 \)

portiamo il termine noto al secondo membro:

\( 2x^4 \lt 3 \)

dividiamo primo e secondo membro per 2:

\( x^4 \lt \frac{3}{2} \)

Risolviamo, ora, l’equazione associata e troviamo gli estremi dell’intervallo delle radici:

\( x^4 = \frac{3}{2} \)

calcoliamo la radice quarta del primo e del secondo membro:

\( \sqrt[4]{x^4} = \pm\sqrt[4]{\frac{3}{2}} \rightarrow x \pm \sqrt[4]{\frac{3}{2}} \)

Poiché il simbolo della disequazione è \( \lt \), l’insieme delle soluzioni è dato dai valori interni all’intervallo delle radici:

\( -\sqrt[4]{\frac{3}{2}} \lt x \lt \sqrt[4]{\frac{3}{2}} \)

l’insieme delle soluzioni è dato, quindi, da:

\( S: \Big( -\sqrt[4]{\frac{3}{2}}; \sqrt[4]{\frac{3}{2}} \Big) \)

Disequazioni trinomie

Le disequazioni trinomie, ridotte in forma canonica, sono del tipo:

\( ax^{2n} + bx^n + c \gt 0\mbox{, } \,\,\, ax^{2n} + bx^n + c \ge 0 \)

\( ax^{2n} + bx^n + c \lt 0\mbox{, } \,\,\, ax^{2n} + bx^n + c \le 0 \)

con \( n \in \mathbb{N^*}\mbox{, } \,\, a \ne 0 \).

Sono dissertazioni, cioè, in cui la x di grado maggiore ha grado doppio della x del secondo coefficiente.

Questo tipo di disequazioni, così come abbiamo visto per le equazioni trinomie, possono essere risolte mediante un cambio di incognita; in particolare, si opera una sostituzione del tipo:

\[ y = x^n \]

cosicché la disequazione si riduce ad una disequazione di secondo grado in forma normale.

Esempio: risolviamo la seguente disequazione trinomia: \[ x^6 + 7x^3 – 8 \gt 0 \]

effettuiamo la sostituzione seguente:

\( y = x^3 \)

otteniamo quindi:

\( y^2 + 7y – 8 \gt 0 \)

la disequazione è già ridotta in forma normale, quindi risolviamo l’equazione associata per trovare gli estremi dell’intervallo delle radici:

\( y^2 + 7y – 8 = 0 \rightarrow y = \frac{-7\pm\sqrt{49+32}}{2} = \frac{-7\pm\sqrt{81}}{2} = \frac{-7 \pm 9}{2} \)

\( y = \frac{-7+9}{2} \vee y = \frac{-7-9}{2} \rightarrow y = \frac{2}{2} \vee y = \frac{-16}{2} \rightarrow y= 1 \vee y = -8 \)

Poiché la disequazione ha simbolo \( \gt \) , l’insieme delle soluzioni è dato dai valori esterni all’intervallo delle radici:

\( y \lt -8 \vee y \gt 1 \)

Sostituiamo ora ad y x alla terza per trovare le soluzioni della disequazione di partenza, in x:

\( x^3 \lt -8 \vee x^3 \gt 1 \rightarrow x \lt -2 \vee x \gt 1 \)

Concludiamo, quindi, che l’insieme delle soluzioni della disequazione è il seguente:

\( S: (-\infty; -2) \cup (1; +\infty) \)

 

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