E’ data la seguente equazione contenente un parametro $a in RR$
$(a-1)/(a-2)x^2-2x+(5-15a)/(a-2)=0$
Si esaminino le soluzioni dell’equazione e i valori che può assumera il parametro.
Consideriamo le condizioni di esistenza; avendo
$(a-1)/(a-2)x^2-2x+(5-15a)/(a-2)=0$
si deve escludere $a=2$, che annullerebbe i denominatori.
Vediamo cosa succede per eventuali valori del parametro che annullano il coefficiente di $x^2$; ad esempio, tornando all’equazione di prima, se $a=1$ l’equazione si riduce a $-2x+10=0$, da cui $x=5$;
E’ importante ora esaminare il discriminante $Delta$, ovvero, indicando con
$x=(-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)$ la formula risolutiva, si ha che $Delta=b^2-4ac$;
Ma se il coefficiente di $x$ è pari, si può porre $t=b/2$ ed applicare la formula risolutiva ridotta:
$x=(-t+-sqrt(t^2-ac))/a$, dove, in questo caso, $Delta=t^2-ac$.
Nel nostro caso, eliminiamo i denominatori ottenendo:
$(a-1)x^2-2(a-2)x+(5-15a)=0$
Il discriminante è importante studiarlo: infatti sappiamo da esso se l’equazione ammette radici, ed eventualmente quante.
Ricordiamo che se
$Delta=0$ l’equazione ammette un valore che la soddisfa (diciamo anche due radici reali coincidenti $x_1=x_2$)
$Delta>0$ l’equazione ammette due radici reali distinte
$Delta<0$ l’equazione non ha radici reali
Calcoliamo il valore del discriminante
$Delta=(a-2)^2-(a-1)(5-15a)=(a^2-4a+4)-(5a-15a^2-5+15a)=$
$=16a^2-24a+9=(4a-3)^2>=0$
Se il discriminante vale zero, ovvero
$4a-3=0 \implies a=3/4$
l’equazione ammette la radice $x=5$
Altrimenti, l’equazione ha due radici reali distinte, che sono, applicando la formula
$x_1=((a-2)+(4a-3))/(a-1)=(5a-5)/(a-1)=(5(a-1))/(a-1)=5$
$x_2=((a-2)-(4a-3))/(a-1)=(1-3a)/(a-1)$
Riassumendo:
— se $a=2$ l’equazione perde significato;
— se $a=1$ l’equazione diventa di primo grado e la soluzione è $x_1=5$;
— se $a=3/4$ l’equazione ammette due radici coincidenti $x_1=x_2=5$
— se $a$ assume altri valori, si hanno due radici reali e distinte: ${(x_1=5),(x_2=(1-3a)/(a-1)):}$
FINE