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$4|x-1|-x|x+1|=3x+x^2$

Risolvere la seguente equazione

$4|x-1|-x|x+1|=3x+x^2$


 

Quest’equazione ha dei valori assoluti, pertanto occorre studiare il segno dei rispettivi argomenti per osservare come si comportano, ricordando che

con $a>0$ abbiamo $|a|=a$

con $a<0$ abbiamo $|a|=-a$

 

Studiando il segno dei due valori assoluti

$|x-1|=x-1$ se $x-1>0 ->x>1$

$|x+1|=x+1$ se $x+1>0-> x> -1$

Peranto, otteniamo tre intervalli:

1) $x<-1$ per il quale

${(|x+1|=-x-1),(|x-1|=1-x):}$

2)$-1<=x<=1$ per il quale

${(|x+1|=x+1),(|x-1|=1-x):}$

3)$x>1$ per il quale

${(|x+1|=x+1),(|x-1|=x-1):}$

Iniziamo a svolgere l’equazione, lavorando nell’intervallo 1.

Avremo

$4(1-x)-x(-x-1)=3x+x^2$

ovvero

$4-4x+x+x^2=3x+x^2$

che diviene

$2=3x$

quindi $x=2/3$

Risultato non accettabile, perchè non appartiene all’intervallo che abbiamo considerato.

Consideriamo il secondo intervallo, l’equazione diventa

$4(1-x)-x(x+1)=3x+x^2$

semplice equazione di secondo grado che restituisce due radici

$x_1=-2-sqrt6$

$x_2=-2+sqrt6$

La prima soluzione non appartiene al nostro intervallo, la seconda si (vale circa 0,49).

Solo $sqrt6-2$ è accettabile.

Si consideri l’ultimo intervallo

Avremo

$4|x-1|-x|x+1|=3x+x^2$

che dopo semplificazioni diventa

$x^2=-2$

ovviamente assurda, perchè non ammette radici reali.

Ricapitolando, l’unica soluzione che soddisfa l’equazione è

$sqrt6-2$

 

FINE

C'è un commento su questo articolo:

  1. Forse mi sbaglio, ma il risultato nel primo intervallo mi esce x = 2/3

    4(1-x)-x(-x-1)=3x+x^2 4-4x+x^2+x=3x+x^2
    4-4x+x-3x=0
    6x=4
    x=4/6 –> x= 2/3

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