relazione e coppia ordinata

[Martino]

Una coppia ordinata è un insieme vero?

Sì. Penso che tu abbia già guardato qui.

[lisdap]

Una coppia ordinata è un insieme vero?

Sì. Penso che tu abbia già guardato qui.

Quindi una coppia ordinata è un insieme costituito da due elementi con la caratteristica che ha senso pensare prima ad un elemento e poi ad un altro?


EDIT: Il mio libro segue questa logica: parte dagli insiemi, poi definisce le relazioni e le funzioni e poi definisce il numero naturale. Leggendo in giro mi è sembrato di capire che la definizione di coppia ordinata di cui abbiamo parlato è puramente intuitiva, in quanto fa riferimento a concetti che, a questo stadio della trattazione, dovrebbero essere ancora ignoti (per esempio il concetto di ordine). Ciò mi fa pensare che debba esistere un'altra definizione di coppia ordinata, vero?

[Martino]

Ri-guarda qui, con attenzione. La nozione di coppia ordinata non richiede assolutamente la nozione di relazione d'ordine, è vero il contrario. Infatti se ci fai caso la definizione di relazione usa la nozione di prodotto cartesiano, e un prodotto cartesiano tra due insiemi è un insieme di coppie ordinate.

Come vedi la definizione di Kuratowski (che come vedi è quella accettata universalmente) è la seguente:

(*) \( \displaystyle (a,b) := \{\{a\},\{a,b\}\} \) .

Osserva che quindi \( \displaystyle (a,b) \) è diverso da \( \displaystyle \{a,b\} \) .

Con la definizione (*) si riesce a parlare di "primo elemento" e "secondo elemento". Se \( \displaystyle a=b \) allora il primo e il secondo elemento sono definiti essere \( \displaystyle a=b \) . Supponiamo \( \displaystyle a \neq b \) .

Definizione (primo elemento di \( \displaystyle (a,b) \) ). Il primo elemento di \( \displaystyle (a,b) = \{\{a\},\{a,b\}\} \) è l'elemento di \( \displaystyle \{a,b\} \) che appartiene ad entrambi gli elementi di \( \displaystyle (a,b) \) .

Definizione (secondo elemento di \( \displaystyle (a,b) \) ). Il secondo elemento di \( \displaystyle (a,b) = \{\{a\},\{a,b\}\} \) è l'elemento di \( \displaystyle \{a,b\} \) che non appartiene ad entrambi gli elementi di \( \displaystyle (a,b) \) .

Osserva che non sono legittimato per esempio a dire "il primo elemento di \( \displaystyle (a,b) \) è \( \displaystyle a \) " finché non ho un modo per "distinguere" \( \displaystyle a \) e \( \displaystyle b \) . E per "distinguere" intendo a livello algoritmico, non notazionale. Se mi danno una coppia io per sapere qual è il primo elemento procedo come nella definizione di primo elemento che ti ho dato qui sopra.

Ti ricordo che queste sono definizioni rigorose e formali per esprimere un fatto totalmente intuitivo. Si cerca di dare un senso al processo (che intuitivamente è talmente immediato che appunto crea confusione) di determinazione univoca del primo elemento e del secondo elemento. Se mi danno l'insieme \( \displaystyle \{a,b\} \) non ho nessun modo canonico di chiamare uno dei due elementi "primo" e l'altro "secondo".

Ti consiglierei di non struggerti troppo sulla definizione di coppia ordinata, la digerirai in futuro. A me ci è voluto parecchio.

PS. Guarda anche qui.

[lisdap]

Ri-guarda qui, con attenzione. La nozione di coppia ordinata non richiede assolutamente la nozione di relazione d'ordine, è vero il contrario. Infatti se ci fai caso la definizione di relazione usa la nozione di prodotto cartesiano, e un prodotto cartesiano tra due insiemi è un insieme di coppie ordinate.

Come vedi la definizione di Kuratowski (che come vedi è quella accettata universalmente) è la seguente:

(*) \( \displaystyle (a,b) := \{\{a\},\{a,b\}\} \) .

Osserva che quindi \( \displaystyle (a,b) \) è diverso da \( \displaystyle \{a,b\} \) .

Con la definizione (*) si riesce a parlare di "primo elemento" e "secondo elemento". Come segue:

Definizione (primo elemento di \( \displaystyle (a,b) \) ). Il primo elemento di \( \displaystyle (a,b) = \{\{a\},\{a,b\}\} \) è l'elemento di \( \displaystyle \{a,b\} \) che appartiene ad entrambi gli elementi di \( \displaystyle (a,b) \) .

Definizione (secondo elemento di \( \displaystyle (a,b) \) ). Il secondo elemento di \( \displaystyle (a,b) = \{\{a\},\{a,b\}\} \) è l'elemento di \( \displaystyle \{a,b\} \) che non appartiene ad entrambi gli elementi di \( \displaystyle (a,b) \) .

Osserva che non sono legittimato per esempio a dire "il primo elemento di \( \displaystyle (a,b) \) è \( \displaystyle a \) " finché non ho un modo per "distinguere" \( \displaystyle a \) e \( \displaystyle b \) . E per "distinguere" intendo a livello algoritmico, non notazionale. Se mi danno una coppia io per sapere qual è il primo elemento procedo come nella definizione di primo elemento che ti ho dato qui sopra.

Ti ricordo che queste sono definizioni rigorose e formali per esprimere un fatto totalmente intuitivo. Si cerca di dare un senso al processo (che intuitivamente è talmente immediato che appunto crea confusione) di determinazione univoca del primo elemento e del secondo elemento. Se mi danno l'insieme \( \displaystyle \{a,b\} \) non ho nessun modo canonico di chiamare uno dei due elementi "primo" e l'altro "secondo".

Ti consiglierei di non struggerti troppo sulla definizione di coppia ordinata, la digerirai in futuro. A me ci è voluto parecchio.

PS. Guarda anche qui.

RIleggerò quanto hai scritto e mi hai suggerito con attenzione e ci rifletterò su. In effetti, penso che tutti i miei dubbi di cui abbiamo parlato qui sul forum siano da ricondurre alla non adeguata comprensione del concetto di coppia ordinata. Ti farò sapere. Grazie per la disponibilità e grazie anche agli altri utenti che stanno contribuendo a questa discussione


EDIT: Volevo solo dire che è pazzesco come sia riuscito a superare l'esame di Analisi 1 (a febbraio di quest'anno) senza conoscere tutte queste cose, concetti che peraltro sfociano poi nel concetto di funzione che è appunto l'oggetto di studio dell'Analisi. Questo mi fa con dispiacere pensare alla scarsa qualità con la quale si insegna la matematica, soprattutto agli studenti di ingegneria.

[lisdap]

Ummm, dovrei aver compreso la definizione di Kuratowski. In pratica, sempre se ho capito bene, la logica di tale definizione, definizione che appunto dà senso alla frase "distinguere un primo elemento da un secondo elemento", si basa sulla stessa logica che porta alla definizione di numero naturale tramite il concetto di insieme equipotente (facendo sempre riferimento al filo seguito dal mio testo di algebra del liceo)?


Esempio: sia dato l'insieme ${a,b,c,d}$. Voglio dire che $a$ è il primo elemento dell'insieme, $b$ il secondo e così via. Allora, definisco $(a,b,c,d):={{a},{a,b},{a,b,c},{a,b,c,d}}$?

[Martino]

sia dato l'insieme ${a,b,c,d}$. Voglio dire che $a$ è il primo elemento dell'insieme, $b$ il secondo e così via. Allora, definisco $(a,b,c,d):={{a},{a,b},{a,b,c},{a,b,c,d}}$?

Se vuoi sì, ma la cosa diventa un po' artificiale. La fatica uno la fa per definire la coppia, poi per definire una \( \displaystyle n \) -pla procede induttivamente definendo

\( \displaystyle (a_1,...,a_n) := ((a_1,...,a_{n-1}),a_n) \) .

[lisdap]

sia dato l'insieme ${a,b,c,d}$. Voglio dire che $a$ è il primo elemento dell'insieme, $b$ il secondo e così via. Allora, definisco $(a,b,c,d):={{a},{a,b},{a,b,c},{a,b,c,d}}$?

Se vuoi sì, ma la cosa diventa un po' artificiale. La fatica uno la fa per definire la coppia, poi per definire una \( \displaystyle n \) -pla procede induttivamente definendo

\( \displaystyle (a_1,...,a_n) := ((a_1,...,a_{n-1}),a_n) \) .

Ok, ti ringrazio, e sulla prima parte del mio ultimo post che mi dici?

[Martino]

Ummm, dovrei aver compreso la definizione di Kuratowski. In pratica, sempre se ho capito bene, la logica di tale definizione, definizione che appunto dà senso alla frase "distinguere un primo elemento da un secondo elemento", si basa sulla stessa logica che porta alla definizione di numero naturale tramite il concetto di insieme equipotente (facendo sempre riferimento al filo seguito dal mio testo di algebra del liceo)?

Non capisco proprio cosa intendi, se devo leggere alla lettera allora la risposta è no, il concetto di equipotenza richiede la nozione di funzione, quindi di relazione, quindi di prodotto cartesiano e via dicendo. Cerca di non dare interpretazioni filosofiche alle definizioni. I collegamenti tra i concetti rimangono utili più che altro per te, per capire (avere convinzioni - soprattutto se sbagliate - è importante nell'apprendimento). Io trovo un po' inutile parlare della "logica" di una definizione, la apprezzerai/capirai pienamente tra un po' di tempo, credimi.

Ciao.

PS. E' più che naturale che a ingegneria non "perdano" tempo con queste "sottigliezze" (per i matematici non si tratta affatto di sottigliezze, ma è appunto perché sono matematici), se volevi entrare nel merito "seriamente" potevi scegliere matematica certo, non sto dicendo che le cose sono insegnate ovunque come si dovrebbe, ma ci sono se non altro priorità e priorità.

[lisdap]

Con la definizione (*) si riesce a parlare di "primo elemento" e "secondo elemento". Come segue:

Un attimo. Se il concetto di numero naturale è definito tramite il concetto di equipotenza tra insiemi, quello di equipotenza tramite quello di funzione, quello di funzione tramite quello di relazione a sua volta definito tramite il concetto di prodotto cartesiano e quindi di coppia ordinata, come faccio a parlare di primo o secondo elemento se non conosco che cos'è un numero, nè tantomeno cosa vuol dire "primo, secondo ecc"?
Ho l'impressione che si dia qualcosa per scontato. Ti ringrazio, mi stai aiutando molto

[Martino]

Ecco. Non volevo arrivare a questo, ma mi ci costringi. Se vuoi, è lo stesso problema del paradosso del mentitore (l'affermazione "io sto mentendo" non può essere né vera né falsa). Insomma, è un problema di logica. Bisogna distinguere tra linguaggio e metalinguaggio (i paradossi nascono appunto quando si mescolano linguaggio e metalinguaggio: vedi qui). Pensa alla matematica come a una lingua straniera. Non puoi usare il linguaggio della matematica per descrivere la matematica stessa (allo stesso modo un italiano studia l'inglese in italiano - almeno all'inizio! ). Quando dico "primo elemento" e "secondo elemento" sono nel metalinguaggio. Insomma, non faccio riferimento ai numeri 1 e 2 della matematica, ma a quelli del "senso comune".

Ora, la domanda è: abbandonerai ingegneria e ti darai alla logica?