Ciao,
Ho qualche dubbio su questo esercizio potete aiutarmi?
fissato nello spazio un riferimento cartesiano monometrico ortogonale si considerino le rette
$r:\{(x + 2y = 0),(y - z = 0):}$
$s:\{(x = 2t),(y = 1-t),(z = -t):}$
(i) Verificare che $r$ e $s$ siano propriamente parallele
(ii) Rappresentare il piano per $r$ e $s$
(iii) Determinare la distanza tra $r$ e $s$
Ho svolto in questo modo:
(i) Le rette sono propriamente parallele in quanto i parametri direttori sono proporzionali e non passano per lo stesso punto, infatti:
I parametri direttori di $r$ sono $(-2,1,1)$, Quelli di $s$ sono $(2,-1,-1)$ e in quanto proporzionali sono parallele.
Inoltre sono propriamente parallele,cioè non hanno punti in comune, perchè la retta $s$ passa per $A(0,1,0)$ e la retta $r$ no.
(ii)Il piano passante per $s$ ed $r$ è dato dall' equazione del fascio di piani di asse $r$, imponendo a quest'ultima il passaggio per un punto di $s$, cioè:
$ax+by+cz+d+t(a'x+b'x+c'z+d')=0 -> x+2y+t(y-z) $
Imponendo il passaggio per $A(0,1,0)$ abbiamo chi $t=-2$ e da queto abbiamo che la nostra equazione è:
$x+2z=0$
(iii) Per conoscere la distanza tra 2 rette nello spazio dobbiamo conoscere l'equazione di un piano ortogonale ad una delle due rette $(r)$, imporre poi passaggio di questo piano per un punto di $s$. Mi risulta, omettendo tutti i passaggi:
$-2x+y+z-1=0$
Adesso ho trovato il punto di intersezione $H$ tra questo piano e la retta $r$
$s:\{(x+2y = 0),(y-z = 0),(-2x+y+z = 1):} -> s:\{(x = -1/3),(y = 1/6),(z = 1/6):}$
Applicando la formula della distanza tra un punto ed un piano mi risulta $0$ che è in contraddizione con il primo punto, cioè:
$(|ax+by+cz+d|)/sqrt(a^2+b^2+c^2) = 0$
in cui $a=-2, b=1, c=1, d=-1, x=-1/3, y=1/6, z=1/6$
Mi potete dire dove e se ho sbagliato.
Perdonate la lunghezza.