Faccio notare che Rouchè Capelli è fondamentale nonchè comodissimo per trattare la discussione di sistemi con parametro!
Supponiamo di avere un sistema lineare a \( \displaystyle m \) equazioni ed \( \displaystyle n \) incognite, denotato da
\( \displaystyle A\cdot\mathbf{x}=\mathbf{b} \to
\left(
\begin{array}{ccc}
a_{11}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots&\vdots&\vdots\\
a_{m1}&\cdots&a_{mn}
\end{array}\right) \cdot
\left(\begin{array}{c}
x_1\\
\vdots\\
x_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
b_1\\
\vdots\\
b_m
\end{array}\right) \)
Il teorema di Rouchè Capelli fornisce una via risolutiva molto schematica, basata sul calcolo del rango (vedi appendice A) di matrice completa e incompleta.
La matrice incompleta del sistema è semplicemente la matrice \( \displaystyle A \) , mentre la matrice completa, denotata \( \displaystyle A|b \) , si ottiene aggiungendo ad \( \displaystyle A \) come ulteriore colonna il vettore dei termini noti \( \displaystyle \mathbf{b} \) , così:
\( \displaystyle \left( \begin{array}{ccc|c}
a_{11}&\cdots&a_{1n}&b_1\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
a_{m1}&\cdots&a_{mn}&b_m
\end{array}\right) \)
Riporto ora lo schema risolutivo fornito dal teorema; chi risolve un esercizio del genere deve capire in quale caso il sistema rientra e trarre le conclusioni.
Caso 1: \( \displaystyle rank(A)\neq rank(A|b) \)
Il sistema è impossibile, cioè non ha alcuna soluzione.
Caso 2: \( \displaystyle rank(A)=rank(A|b)= n \) (ricordo che \( \displaystyle n \) è il numero delle incognite)
Il sistema è determinato, cioè ha un'unica soluzione. Per trovarla si possono applicare vari metodi, riassunti nell'appendice B.
Caso 3: \( \displaystyle rank(A)=rank(A|b)< n \)
Il sistema è indeterminato, ovvero ha infinite soluzioni. Il numero di parametri liberi, cioè liberi di variare per fornire appunto le infinite soluzioni, è \( \displaystyle k: =n-rank(A) \) ; si dice anche che il sistema ha \( \displaystyle \infty^k \) soluzioni. Per esplicitare la soluzione generica, si scelgono – possibilmente in un modo che convenga ai fini del calcolo – \( \displaystyle k \) incognite e si ricavano tutte le altre in funzione di esse; può risultare utile utilizzare la riduzione a gradini (inclusa nell'appendice B). Gli esempi in fondo comunque chiariscono meglio cosa si deve fare.
APPENDICE A: calcolo del rango
Supponiamo di avere una matrice qualunque \( \displaystyle A \) con \( \displaystyle m \) righe ed \( \displaystyle n \) colonne e di volerne calcolare il rango. Se la matrice risulta essere quadrata ( \( \displaystyle m=n \) ), conviene come prima cosa calcolarne il determinante. Se è non nullo abbiamo già trovato il rango ( \( \displaystyle n \) ), altrimenti possiamo solo dire che $rank(A) < n $ e provare un'altra via.
Il metodo generale più comune è il metodo degli orlati. Si parte cercando un minore non nullo di ordine \( \displaystyle 2 \) . Trovatolo, si cerca di “orlarlo” per avere un minore non nullo di ordine \( \displaystyle 3 \) ... E così via fino a che non si arriva ad avere un minore non nullo di ordine \( \displaystyle k \) e non si riesce più a continuare. Allora si conclude che il rango della matrice è \( \displaystyle k \) .
Il vantaggio di questo metodo è che ogni volta che orliamo abbiamo il minore precedentemente trovato a cui “ancorarci” e non dobbiamo quindi provare tutte le combinazioni possibili, ma molte meno!
Vediamo meglio con un esempio:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
\( \displaystyle A=\left(\begin{array}{ccccc}
1&-1&-1&0&1\\
3&0&1&1&4\\
-2&0&1&1&-1\\
0&-1&-3&-2&-2
\end{array}\right) \)
Partiamo cercando un minore non nullo di ordine \( \displaystyle 2 \) , ad esempio
\( \displaystyle M_1=\left|\begin{array}{cc}
1&-1\\
3&0
\end{array}\right| =3\neq 0 \)
Ora dobbiamo orlare questo minore: non possiamo prendere elementi a casaccio, ma devono rispettare l'allineamente delle righe e delle colonne... e naturalmente devono contentere \( \displaystyle M_1 \) , altrimenti abbiamo fatto della fatica inutile.
Ad esempio prendiamo
\( \displaystyle M_2=\left|\begin{array}{ccc}
1&-1&0\\
3&0&1\\
0&-1&-2
\end{array}\right| = -5\neq 0 \)
Ho orlato il minore precedente con elementi dalla colonna \( \displaystyle 4 \) e della riga \( \displaystyle 4 \) , per cercare di approfittare della larga presenza di zeri, che semplificano i calcoli!
Finora dunque sappiamo che la matrice ha rango almeno \( \displaystyle 3 \) . Cerchiamo di orlare ancora il nostro minore:
\( \displaystyle M_3=\left|\begin{array}{cccc}
1&-1&-1&0\\
3&0&1&1\\
-2&0&1&1\\
0&-1&-3&-2
\end{array}\right| = 0 \)
Proviamo ad orlare nell'unico altro modo possibile:
\( \displaystyle M_3'=\left|\begin{array}{cccc}
1&-1&0&1\\
3&0&1&4\\
-2&0&1&-1\\
0&-1&-2&-2
\end{array}\right| = 0 \)
Concludiamo dunque che il rango della matrice è \( \displaystyle 3 \) .
1&-1&-1&0&1\\
3&0&1&1&4\\
-2&0&1&1&-1\\
0&-1&-3&-2&-2
\end{array}\right) \)
Partiamo cercando un minore non nullo di ordine \( \displaystyle 2 \) , ad esempio
\( \displaystyle M_1=\left|\begin{array}{cc}
1&-1\\
3&0
\end{array}\right| =3\neq 0 \)
Ora dobbiamo orlare questo minore: non possiamo prendere elementi a casaccio, ma devono rispettare l'allineamente delle righe e delle colonne... e naturalmente devono contentere \( \displaystyle M_1 \) , altrimenti abbiamo fatto della fatica inutile.
Ad esempio prendiamo
\( \displaystyle M_2=\left|\begin{array}{ccc}
1&-1&0\\
3&0&1\\
0&-1&-2
\end{array}\right| = -5\neq 0 \)
Ho orlato il minore precedente con elementi dalla colonna \( \displaystyle 4 \) e della riga \( \displaystyle 4 \) , per cercare di approfittare della larga presenza di zeri, che semplificano i calcoli!
Finora dunque sappiamo che la matrice ha rango almeno \( \displaystyle 3 \) . Cerchiamo di orlare ancora il nostro minore:
\( \displaystyle M_3=\left|\begin{array}{cccc}
1&-1&-1&0\\
3&0&1&1\\
-2&0&1&1\\
0&-1&-3&-2
\end{array}\right| = 0 \)
Proviamo ad orlare nell'unico altro modo possibile:
\( \displaystyle M_3'=\left|\begin{array}{cccc}
1&-1&0&1\\
3&0&1&4\\
-2&0&1&-1\\
0&-1&-2&-2
\end{array}\right| = 0 \)
Concludiamo dunque che il rango della matrice è \( \displaystyle 3 \) .
APPENDICE B: metodi risolutivi per sistemi determinati
Faccio notare che nel caso di sistema determinato, abbiamo sempre una matrice incompleta quadrata, in quanto è sempre possibile eliminare righe che sono tutte nulle o combinazioni lineare di altre ed ottenere un sistema equivalente a quello di partenza.
Come sapere quali righe eventualmente eliminare? Quelle nulle di sicuro. Per quanto riguarda le altre righe inutili, durante il calcolo del rango avrete costruito un minore non nullo di ordine \( \displaystyle n \) : tenete le righe che hanno elementi inclusi in questo minore e cancellate tutte le altre.
Riduzione a gradini
Questo metodo è utilizzabile anche nel caso di sistema indeterminato. In questo caso, una volta che avete battezzato le incognite che faranno la parte dei parametri liberi, portate le colonne dei coefficienti ad esse corrispondenti a destra e consideratele come termini noti. Includerò un esempio in fondo al topic, così è più chiaro.
Lo scopo di questo metodo è ottenere una matrice incompleta della forma
\( \displaystyle \left(\begin{array}{ccccc}
\star&\star&\star&\cdots&\star\\
0&\star&\star&\cdots&\star\\
0&0&\star&\cdots&\star\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
0&0&0&\cdots&\star\\
\end{array}\right) \)
Per farlo si può:
- scambiare righe tra loro
moltiplicare una riga per un numero reale e sommarla ad un altra.
Credo che un esempio chiarisca molto di più di una regola generale:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
\( \displaystyle A|b= \left(\begin{array}{cccc|c}
1&0&2&4&1\\
0&3&1&-1&0\\
1&1&1&-1&1\\
1&0&3&0&0
\end{array}\right) \)
Come primo pivot prendiamo sempre l'elemento di posto \( \displaystyle (1,1) \) e cerchiamo di azzerare tutti gli elementi sotto di lui. Nella seconda riga c'è già uno \( \displaystyle 0 \) , ma non nella terza e quarta.
Le operazioni che facciamo tra righe sono:
\( \displaystyle 3R-1R \)
\( \displaystyle 4R-1R \)
ottenendo la nuova matrice
\( \displaystyle \left(\begin{array}{cccc|c}
1&0&2&4&1\\
0&3&1&-1&0\\
0&1&-1&-5&0\\
0&0&1&-4&-1
\end{array}\right) \)
Come secondo pivot, prendiamo sempre l'elemento di posto \( \displaystyle (2,2) \) e cerchiamo nuovamente di azzerare gli elementi sotto di lui. Le operazioni che occorrono sono:
\( \displaystyle 3R- \displaystyle\frac{1}{3}\cdot 2R \)
(perché in questo modo quell' \( \displaystyle 1 \) della riga \( \displaystyle 3 \) viene azzerato dal nostro pivot, che è \( \displaystyle 3 \) )
Otteniamo la nuova matrice:
\( \displaystyle \left(\begin{array}{cccc|c}
1&0&2&4&1\\
0&3&1&-1&0\\
0&0&-4/3&-14/3&0\\
0&0&1&-4&-1
\end{array}\right) \)
Salto gli ultimi passaggi (che sarebbero identici ai precedenti, come pivot viene usato l'elemento di posto \( \displaystyle (3,3) \) ) e scrivo la matrice ridotta a gradini:
\( \displaystyle \left(\begin{array}{cccc|c}
1&0&2&4&1\\
0&3&1&-1&0\\
0&0&-4/3&-14/3&0\\
0&0&0&-15/2&-1
\end{array}\right) \)
1&0&2&4&1\\
0&3&1&-1&0\\
1&1&1&-1&1\\
1&0&3&0&0
\end{array}\right) \)
Come primo pivot prendiamo sempre l'elemento di posto \( \displaystyle (1,1) \) e cerchiamo di azzerare tutti gli elementi sotto di lui. Nella seconda riga c'è già uno \( \displaystyle 0 \) , ma non nella terza e quarta.
Le operazioni che facciamo tra righe sono:
\( \displaystyle 3R-1R \)
\( \displaystyle 4R-1R \)
ottenendo la nuova matrice
\( \displaystyle \left(\begin{array}{cccc|c}
1&0&2&4&1\\
0&3&1&-1&0\\
0&1&-1&-5&0\\
0&0&1&-4&-1
\end{array}\right) \)
Come secondo pivot, prendiamo sempre l'elemento di posto \( \displaystyle (2,2) \) e cerchiamo nuovamente di azzerare gli elementi sotto di lui. Le operazioni che occorrono sono:
\( \displaystyle 3R- \displaystyle\frac{1}{3}\cdot 2R \)
(perché in questo modo quell' \( \displaystyle 1 \) della riga \( \displaystyle 3 \) viene azzerato dal nostro pivot, che è \( \displaystyle 3 \) )
Otteniamo la nuova matrice:
\( \displaystyle \left(\begin{array}{cccc|c}
1&0&2&4&1\\
0&3&1&-1&0\\
0&0&-4/3&-14/3&0\\
0&0&1&-4&-1
\end{array}\right) \)
Salto gli ultimi passaggi (che sarebbero identici ai precedenti, come pivot viene usato l'elemento di posto \( \displaystyle (3,3) \) ) e scrivo la matrice ridotta a gradini:
\( \displaystyle \left(\begin{array}{cccc|c}
1&0&2&4&1\\
0&3&1&-1&0\\
0&0&-4/3&-14/3&0\\
0&0&0&-15/2&-1
\end{array}\right) \)
Il vantaggio di questo metodo è che con la matrice ridotta a scalini si può facilmente ricavare l'ultima variabile, poi andandola a sostituire nella penultima equazione trovare la penultima... e così via fino alla prima variabile.
Nel nostro esempio:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Dall'ultima riga del nuovo sistema otteniamo:
\( \displaystyle \displaystyle -\frac{15}{2}x_4= -1\to x_4=\frac{2}{15} \)
Andiamo a sostituire nella penultima equazione e ricaviamo \( \displaystyle x_3 \) :
\( \displaystyle \displaystyle -\frac{4}{3}x_3 -\frac{14}{3}x_4 = 0\to -\frac{4}{3}x_3 -\frac{14}{3}\frac{2}{15} = 0 \to x_3= -\frac{7}{15} \)
… e così via fino ad arrivare ad \( \displaystyle x_1 \)
\( \displaystyle \displaystyle -\frac{15}{2}x_4= -1\to x_4=\frac{2}{15} \)
Andiamo a sostituire nella penultima equazione e ricaviamo \( \displaystyle x_3 \) :
\( \displaystyle \displaystyle -\frac{4}{3}x_3 -\frac{14}{3}x_4 = 0\to -\frac{4}{3}x_3 -\frac{14}{3}\frac{2}{15} = 0 \to x_3= -\frac{7}{15} \)
… e così via fino ad arrivare ad \( \displaystyle x_1 \)
Cramer
Questa regola è piuttosto immediata, ma rischia di trasformarsi in un inferno di conti... io la terrei buona per matrici di dimensioni non superiori a \( \displaystyle 4 \) oppure per matrici piene di zeri.
La i-esima variabile si ricava con questa semplice operazione:
\( \displaystyle \displaystyle x_i =\frac{det(A_i)}{det(A)} \)
dove la matrice \( \displaystyle A_i \) è quella che si ottiene sostituendo alla colonna i-esima di \( \displaystyle A \) il vettore dei termini noti \( \displaystyle \mathbf{b} \) .
Facciamo un esempio:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
\( \displaystyle \left(\begin{array}{ccc}
1&0&2\\
0&3&1\\
1&1&1
\end{array}\right)\cdot
\left(\begin{array}{c}
x\\
y\\
z
\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
0
\end{array}\right) \)
Risulta \( \displaystyle det(A)=-4 \) .
Calcoliamo, ad esempio, la coordinata \( \displaystyle y \) :
\( \displaystyle det(A_2)=det\left(\begin{array}{ccc}
1&0&2\\
0&1&1\\
1&0&1
\end{array}\right)=-1 \)
Allora \( \displaystyle \displaystyle y=\frac{det(A_2)}{det(A)}=\frac{1}{4} \) .
1&0&2\\
0&3&1\\
1&1&1
\end{array}\right)\cdot
\left(\begin{array}{c}
x\\
y\\
z
\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
0
\end{array}\right) \)
Risulta \( \displaystyle det(A)=-4 \) .
Calcoliamo, ad esempio, la coordinata \( \displaystyle y \) :
\( \displaystyle det(A_2)=det\left(\begin{array}{ccc}
1&0&2\\
0&1&1\\
1&0&1
\end{array}\right)=-1 \)
Allora \( \displaystyle \displaystyle y=\frac{det(A_2)}{det(A)}=\frac{1}{4} \) .
ESEMPI (da completare)
Sistemi determinati
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Consideriamo il sistema
\( \displaystyle \begin{cases}
x-y+z=6\\
2x+y-z=-3\\
x-y-z=0
\end{cases} \)
e costruiamo la matrice completa \( \displaystyle A|b \) :
\( \displaystyle \left(\begin{array}{ccc|c}
1&-1&1&6\\
2&1&-1&-3\\
1&-1&-1&0
\end{array}\right) \)
La seconda colonna mi offre lo spunto per fare due operazioni lecite per procurarmi qualche zero, che fa sempre comodo nei calcoli:
\( \displaystyle 1R+2R \)
\( \displaystyle 3R+2R \)
e ottengo
\( \displaystyle \left(\begin{array}{ccc|c}
3&0&0&3\\
2&1&-1&-3\\
3&0&-2&-3
\end{array}\right) \)
Dato che la matrice incompleta è quadrata, provo a calcolare il determinante prima di - eventualmente - usare il metodo degli orlati, sfruttando naturalmente gli zeri che mi sono procurata: \( \displaystyle det(A)=3\cdot (-2)\neq 0 \)
Dunque \( \displaystyle rank(A)=rank(A|b)=3 \) (numero incognite) e quindi il sistema è determinato.
Essendo la matrice piccina e piena di zeri potrei benissimo usare Cramer, ma guardando la prima riga mi rendo conto che già ho in tasca il valore di \( \displaystyle x (x=1) \) e quindi credo mi convenga sostituire nelle altre due equazioni e ricavare le altre variabili.
\( \displaystyle \begin{cases}
2+y-z=-3\\
3-2z=-3
\end{cases} \)
e dunque la soluzione è \( \displaystyle (1,-2,3) \) .
Naturalmente il fatto di aver fatto quelle operazioni sulle righe del sistema e di aver usato quest'ultimo modo invece di Cramer è "un'extra". Si poteva benissimo trovare il rango con gli orlati e poi usare Cramer, ho solo voluto far vedere un modo un po' più furbo e attento. I calcoli meccanici fanno sentire sicuri, ma fanno anche perdere un sacco di tempo e di concentrazione ad un esame.
\( \displaystyle \begin{cases}
x-y+z=6\\
2x+y-z=-3\\
x-y-z=0
\end{cases} \)
e costruiamo la matrice completa \( \displaystyle A|b \) :
\( \displaystyle \left(\begin{array}{ccc|c}
1&-1&1&6\\
2&1&-1&-3\\
1&-1&-1&0
\end{array}\right) \)
La seconda colonna mi offre lo spunto per fare due operazioni lecite per procurarmi qualche zero, che fa sempre comodo nei calcoli:
\( \displaystyle 1R+2R \)
\( \displaystyle 3R+2R \)
e ottengo
\( \displaystyle \left(\begin{array}{ccc|c}
3&0&0&3\\
2&1&-1&-3\\
3&0&-2&-3
\end{array}\right) \)
Dato che la matrice incompleta è quadrata, provo a calcolare il determinante prima di - eventualmente - usare il metodo degli orlati, sfruttando naturalmente gli zeri che mi sono procurata: \( \displaystyle det(A)=3\cdot (-2)\neq 0 \)
Dunque \( \displaystyle rank(A)=rank(A|b)=3 \) (numero incognite) e quindi il sistema è determinato.
Essendo la matrice piccina e piena di zeri potrei benissimo usare Cramer, ma guardando la prima riga mi rendo conto che già ho in tasca il valore di \( \displaystyle x (x=1) \) e quindi credo mi convenga sostituire nelle altre due equazioni e ricavare le altre variabili.
\( \displaystyle \begin{cases}
2+y-z=-3\\
3-2z=-3
\end{cases} \)
e dunque la soluzione è \( \displaystyle (1,-2,3) \) .
Naturalmente il fatto di aver fatto quelle operazioni sulle righe del sistema e di aver usato quest'ultimo modo invece di Cramer è "un'extra". Si poteva benissimo trovare il rango con gli orlati e poi usare Cramer, ho solo voluto far vedere un modo un po' più furbo e attento. I calcoli meccanici fanno sentire sicuri, ma fanno anche perdere un sacco di tempo e di concentrazione ad un esame.
Sistemi indeterminati
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
\( \displaystyle \begin{cases}
7y-2z=4\\
2x-3y-4z=0\\
4x+y-10z=4
\end{cases} \)
La matrice completa è
\( \displaystyle A|b=\left(\begin{array}{ccc|c}
0&7&-2&4\\
2&-3&-4&0\\
4&1&-10&4
\end{array}\right) \)
Dato che la matrice incompleta è quadrata, proviamo a calcolarne il determinante secondo la prima riga:
\( \displaystyle 0\left|\begin{array}{cc}
-3&-4\\
1&-10
\end{array}\right| -7\left|\begin{array}{cc}
2&-4\\
4&-10
\end{array}\right| -2\left|\begin{array}{cc}
2&-3\\
4&1
\end{array}\right|=0 \)
Dunque \( \displaystyle rank(A)=2 \) : infatti possiamo considerare il minore non nullo \( \displaystyle M_1=\left|\begin{array}{cc}
0&7\\
2&-3
\end{array}\right| \)
Proviamo ad orlarlo (nell'unico modo possibile!) per calcolare il rango della matrice completa:
\( \displaystyle M_2=\left|\begin{array}{ccc}
0&7&4\\
2&-3&0\\
4&1&4
\end{array}\right|=0 \)
quindi concludendo: \( \displaystyle rank(A)=rank(A|b)=2 \) che è minore del numero delle incognite. Dunque il sistema ha \( \displaystyle \infty^1 \) soluzioni; scegliamo \( \displaystyle z \) come parametro libero, ottenendo:
\( \displaystyle \begin{cases}
x=3y+4z=\displaystyle\frac{34}{7}z+\frac{12}{7}\\
y=\displaystyle\frac{4}{7}+\frac{2}{7}z
\end{cases} \)
Un altro modo di scrivere la soluzione è \( \displaystyle \{(\frac{34}{7}z+\frac{12}{7},\frac{4}{7}+\frac{2}{7}z,z ), z\in\mathbb{R}\} \)
7y-2z=4\\
2x-3y-4z=0\\
4x+y-10z=4
\end{cases} \)
La matrice completa è
\( \displaystyle A|b=\left(\begin{array}{ccc|c}
0&7&-2&4\\
2&-3&-4&0\\
4&1&-10&4
\end{array}\right) \)
Dato che la matrice incompleta è quadrata, proviamo a calcolarne il determinante secondo la prima riga:
\( \displaystyle 0\left|\begin{array}{cc}
-3&-4\\
1&-10
\end{array}\right| -7\left|\begin{array}{cc}
2&-4\\
4&-10
\end{array}\right| -2\left|\begin{array}{cc}
2&-3\\
4&1
\end{array}\right|=0 \)
Dunque \( \displaystyle rank(A)=2 \) : infatti possiamo considerare il minore non nullo \( \displaystyle M_1=\left|\begin{array}{cc}
0&7\\
2&-3
\end{array}\right| \)
Proviamo ad orlarlo (nell'unico modo possibile!) per calcolare il rango della matrice completa:
\( \displaystyle M_2=\left|\begin{array}{ccc}
0&7&4\\
2&-3&0\\
4&1&4
\end{array}\right|=0 \)
quindi concludendo: \( \displaystyle rank(A)=rank(A|b)=2 \) che è minore del numero delle incognite. Dunque il sistema ha \( \displaystyle \infty^1 \) soluzioni; scegliamo \( \displaystyle z \) come parametro libero, ottenendo:
\( \displaystyle \begin{cases}
x=3y+4z=\displaystyle\frac{34}{7}z+\frac{12}{7}\\
y=\displaystyle\frac{4}{7}+\frac{2}{7}z
\end{cases} \)
Un altro modo di scrivere la soluzione è \( \displaystyle \{(\frac{34}{7}z+\frac{12}{7},\frac{4}{7}+\frac{2}{7}z,z ), z\in\mathbb{R}\} \)
Sistemi impossibili
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Dato il sistema
\( \displaystyle \begin{cases}
x-y+2z=0\\
x-y-3z=5\\
-2x+2y+z=-5\\
x-y+9z=-9
\end{cases} \)
La matrice completa è
\( \displaystyle A|b=\left(\begin{array}{ccc|c}
1&-1&2&0\\
1&-1&-3&5\\
-2&2&1&-5\\
1&-1&9&-9
\end{array}\right) \)
Partiamo a calcolare il rango di \( \displaystyle A \) con il metodo degli orlati.
\( \displaystyle M_1 = \left|\begin{array}{cc}
-1&2\\
-1&-3
\end{array}\right|=5\neq 0 \)
dunque il rango è almeno \( \displaystyle 2 \) .
Proviamo ad orlare il minore trovato:
\( \displaystyle M_2=\left|\begin{array}{ccc}
1&-1&2\\
1&-1&-3\\
-2&2&1
\end{array}\right|=0 \)
\( \displaystyle M_2'=\left|\begin{array}{ccc}
1&-1&2\\
1&-1&-3\\
1&-1&9
\end{array}\right|=0 \)
quindi concludiamo \( \displaystyle rank(A)=2 \) .
Sempre orlando il minore iniziale, cerchiamo di vedere qual è il rango della matrice completa.
\( \displaystyle M_2''=\left|\begin{array}{ccc}
-1&2&0\\
-1&-3&5\\
-1&9&-9
\end{array}\right|=-10\neq 0 \)
quindi abbiamo \( \displaystyle rank(A|b)\geq 3 \) e quindi grazie a Rouchè Capelli concludiamo che il sistema è impossibile.
\( \displaystyle \begin{cases}
x-y+2z=0\\
x-y-3z=5\\
-2x+2y+z=-5\\
x-y+9z=-9
\end{cases} \)
La matrice completa è
\( \displaystyle A|b=\left(\begin{array}{ccc|c}
1&-1&2&0\\
1&-1&-3&5\\
-2&2&1&-5\\
1&-1&9&-9
\end{array}\right) \)
Partiamo a calcolare il rango di \( \displaystyle A \) con il metodo degli orlati.
\( \displaystyle M_1 = \left|\begin{array}{cc}
-1&2\\
-1&-3
\end{array}\right|=5\neq 0 \)
dunque il rango è almeno \( \displaystyle 2 \) .
Proviamo ad orlare il minore trovato:
\( \displaystyle M_2=\left|\begin{array}{ccc}
1&-1&2\\
1&-1&-3\\
-2&2&1
\end{array}\right|=0 \)
\( \displaystyle M_2'=\left|\begin{array}{ccc}
1&-1&2\\
1&-1&-3\\
1&-1&9
\end{array}\right|=0 \)
quindi concludiamo \( \displaystyle rank(A)=2 \) .
Sempre orlando il minore iniziale, cerchiamo di vedere qual è il rango della matrice completa.
\( \displaystyle M_2''=\left|\begin{array}{ccc}
-1&2&0\\
-1&-3&5\\
-1&9&-9
\end{array}\right|=-10\neq 0 \)
quindi abbiamo \( \displaystyle rank(A|b)\geq 3 \) e quindi grazie a Rouchè Capelli concludiamo che il sistema è impossibile.
Sistemi parametrici
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http://www.matematicamente.it/forum/post614119.html#p614119
http://www.matematicamente.it/forum/discussione-sistema-con-parametro-t91921.html
http://www.matematicamente.it/forum/guida-alla-risoluzione-dei-sistemi-lineari-t79095-20.html#p713776
http://www.matematicamente.it/forum/discussione-sistema-con-parametro-t91921.html
http://www.matematicamente.it/forum/guida-alla-risoluzione-dei-sistemi-lineari-t79095-20.html#p713776
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P.S. Se ho fatto errori o dimenticato qualche contenuto, critiche e commenti sono ben accetti! Vorrei che questo topic fosse il più completo e chiaro possibile.
Paola