yellow ha scritto:Anzi ti ringrazio visto che sto imparando qualcosa e vedendo questi esercizi che sono interessanti
Prego. Sono io che ringrazio te. Anche io sono abbastanza pigro, però dipende da quello che studio. Per esempio è un bel pò che ho iniziato a leggere un testo di logica ma non riesco a finirlo perchè è troppo tedioso
Invece la topologia mi sembra più divertente... e infatti ecco un altro quesito.
11) If $A \subset X$ is path connected, is $\bar A$ necessarily path connected?
In generale credo di no, infatti dovrebbe esserci il famoso esempio del grafico della funzione $sin(1/x)$, però credo di poter dimostrare che se $X$ è metrizzabile allora la risposta è affermativa.
Edit:
quanto segue è sbagliato causa una errata applicazione del pasting lemma. Consideriamo un punto $x_0 \in A$ e un punto di accumulazione $x \in \bar A$. Se $X$ è metrizzabile esiste una successione $x_0,x_1,x_2,...$ di punti di $A$ che tende a $x$. Poichè $A$ è path connected l'idea è quella di unire i percorsi fra $x_n$ e $x_{n+1}$. Esisteno quindi le funzioni continue $f_n: [n/{n+1},{n+1}/{n+2}] \rightarrow \bar A$ tali che $f_n(n/{n+1})=x_n$ e $f_n({n+1}/{n+2})=x_{n+1}$. Notiamo che laddove i domini di queste funzioni si sovrappongono le funzioni coincidono infatti $f_{n-1}(n/{n+1})=x_n=f_n(n/{n+1})$ per ogni $n$ e che l'unione dei domini è $[0,1)$. Consideriamo infine la funzione continua $f_x:{1} \rightarrow \bar A$ tale che $f_x(1)=x$. Siccome gli intervalli $[n/{n+1},{n+1}/{n+2}]$ e ${1}$ sono chiusi, per il "pasting lemma" possiamo incollare le funzioni $f_n$ e la funzione $f_x$ ed ottenere una funzione continua $f:[0,1] \rightarrow \bar A$ tale che $f(0)=f_0(0)=x_0$ e $f(1)=f_x(1)=x$. Pertanto la chiusura di $A$ è path connected.
In realtà credo che non serva neanche la metrizzabilità, è sufficiente che $X$ soddisfi il "first axiom of countability" Come sempre i commenti sono graditi.