componenti o proiezioni?

[lasy]

Scusate la foto caricata dal web, ma vorrei capire meglio la scelta del testo in questione:
https://ibb.co/nP23ywj

Si parla di scomposizione di un vettore su due rette qualsiasi.
L'autore chiama i vettori componenti "proiezioni"!
E' vero che è una questione di termini e magari uno è libero di scegliere quello che gli piace,
ma la proiezione geometricamente si determina con la perpendicolare, invece in questo caso, per costruire il parallelogramma, bisogna tracciare le parallele.
Credo che si potrebbero creare equivoci e confusione, che ne pensate?

[gio73]

Proiezione perché proietta un fascio di luce?
Nel disegno mi sembra ci siano due torce.

[lasy]

sì, sono torce, ma non è sufficiente, secondo me, per giustificare la scelta di chiamare i vettori componenti "proiezioni" del vettore assegnato, cosa che magari potrebbe essere tollerata nel caso di assi ortogonali, ma non in generale.
a te sembra ragionevole la scelta del termine?

[megas_archon]

Le componenti di un vettore (in una base) non sono altro che le proiezioni di quel vettore lungo quelli che formano la base, cioè, se \(\{e_1,\dots,e_n\}\) è una base di \(V\cong K^n\), allora ogni vettore \(v\in V\) ha componenti \((v_1,\dots, v_n)\) dove \(v_i = \pi_i(v)\), o meglio ancora \(v_i= \pi_i \circ v\), nel primo caso pensando a \(\pi_i : V\to K\) come alla proiezione sul sottospazio di dimensione 1 \(\langle e_i\rangle\cong K\), e nel secondo caso pensando a \(v : K\to V\) come alla applicazione lineare associata a $v$, che manda $1$ in $v$ e \(\alpha\in K\) in \(\alpha.v\).

[lasy]

base di vettori ortogonali?

[megas_archon]

No, non è necessario: su $V$ non deve esistere un prodotto scalare, affinché tu possa parlare di componenti di vettori. Sai che schifo la vita altrimenti?

[lasy]

di componenti va bene, non c'è bisogno
ma per parlare di proiezioni c'è bisogno del prodotto scalare? quello che hai preso tu non è un prodotto scalare insieme con una base ortonormale?

Comunque ho scritto proprio per questo, per sapere se la parola <<proiezione>> si usasse al di fuori di casi ortogonali e magari conoscerne la fonte, non avendo mai trovato una definizione data in questi termini, sperando di rimanere nell'ambito della questione trascurando i riverberi esistenziali

[megas_archon]

di componenti va bene, non c'è bisogno
ma per parlare di proiezioni c'è bisogno del prodotto scalare?

come ti ho detto, le componenti di un vettore sono le sue proiezioni lungo i sottospazi di dimensione 1 associati alla base che hai scelto.

quello che hai preso tu non è un prodotto scalare insieme con una base ortonormale?

ovviamente no. La proiezione \(\pi_W : V\to V\) su un sottospazio $W$ di $V$ è sempre "ortogonale" nel senso che ogni vettore $v$ si scrive come somma \(v_| + v_\perp\) di due componenti, una in $W$ e una nell'ortogonale di $W$, e i due sottospazi sono in somma diretta; ma "ortogonale" qui significa ortogonale rispetto alla dualità canonica, non serve un prodotto scalare.

[lasy]

Le componenti di un vettore (in una base) non sono altro che le proiezioni di quel vettore lungo quelli che formano la base, cioè, se \(\{e_1,\dots,e_n\}\) è una base di \(V\cong K^n\), allora ogni vettore \(v\in V\) ha componenti \((v_1,\dots, v_n)\) dove \(v_i = \pi_i(v)\), o meglio ancora \(v_i= \pi_i \circ v\), nel primo caso pensando a \(\pi_i : V\to K\) come alla proiezione sul sottospazio di dimensione 1 \(\langle e_i\rangle\cong K\), e nel secondo caso pensando a \(v : K\to V\) come alla applicazione lineare associata a $v$, che manda $1$ in $v$ e \(\alpha\in K\) in \(\alpha.v\).

ti ringrazio!
un testo di algebra lineare, quale consiglieresti?

[megas_archon]

https://www.math.mcgill.ca/darmon/cours ... /manin.pdf