Massimizzazione dell'utilità

[HowardRoark]

Ho un dubbio sul metodo illustrato dal mio libro per massimizzare la funzione di utilità.
$Q_P$: sta per etti di pane, $Q_M$ sta per decilitri di minestra, $P_P$ è il prezzo del pane all'etto e $P_M$ è il prezzo della minestra al decilitro. Il problema è il seguente: dato il vincolo di bilancio $P_M*Q_M + P_P*Q_P <= Y$, dove $Y$ è il reddito del consumatore, bisogna scegliere $Q_M$ e $Q_P$ in modo da massimizzare la funzione di utilità $U(Q_M,Q_P)$, sotto il vincolo di sopra.

Per il principio di non sazietà si può supporre che il consumatore spenda tutto il proprio reddito, quindi la disuguaglianza di sopra diventa un'uguaglianza. Siccome le variabili che rendono massima la funzione di utilità sono due, nel mio libro si esprime $Q_P$ in funzione di $Q_M$ in modo da ricondursi ad una sola variabile:

$Q_P = Y/P_P - (P_M)/(P_P) * Q_M$.

Il problema allora diventa: scegliere $Q_M$ in modo da massimizzare:

$U(Q_M, (Y)/(P_P) - (P_M)/(P_P) * Q_M)$.

Per le condizioni del primo ordine, calcola la derivata parziale dell'utilità rispetto a $Q_M$ ponendola uguale a 0. Fin qui mi sembra tutto chiaro. Poi però scrive:

$\(partial U)/ \(partial Q_M) - \(partial U)/ \(partial Q_P) * P_M/P_P = 0 $.
Cosa c'entra la derivata parziale rispetto a $Q_P$? Non sarebbe bastato scrivere $\(partial U)/ \(partial Q_M) = 0$ per descrivere il procedimento generale?

[HowardRoark]

Aggiungo che questa espressione qui: $\(partial U)/ \(partial Q_M) - \(partial U)/ \(partial Q_P) * P_M/P_P = 0 $ in generale a me sembra sbagliata.
Se ad esempio la funzione di utilità è $U(Q_M, Q_P) = 2ln(Q_M) + 3ln(Q_P)$:

$\(partial U)/ \(partial Q_M) = 2/Q_M$, mentre

$\(partial U)/ \(partial Q_P) * P_M/P_P = P_M/P_P * 3/Q_P$.

Le due espressioni mi sembrano in generale diverse.

EDIT: forse $\(partial U)/ \(partial Q_M) - \(partial U)/ \(partial Q_P) * P_M/P_P = 0 $ è la formula che si usa quando non si effettua la sostituzione $Q_P = f(Q_M)$? Perché allora quella formula sarebbe la regola di derivazione della funzione composta: se ad esempio $U(Q_M,Q_P) = 2lnQ_M + 3lnQ_P$, dove $Q_P = 16/3 - 3/4Q_M$ (sono dati casuali, sono solo stato attento a rispettare la relazione $Q_P = Y/P_M - P_M/P_P Q_M$), allora la derivata parziale di $U$ rispetto a $Q_M$ è in effetti $2/Q_M + \(partial U)/ \(partial Q_P) * P_M/P_P = 2/Q_M - 3/Q_P *P_M/P_P $.
Credo di aver capito, anche perché se $Q_P$ è in funzione di $Q_M$ è chiaro che, derivando per $Q_M$, non si possa trascurare $Q_P$ (che è in funzione di $Q_M$).
Scusate la confusionarietà del messaggio, spero comunque che si capisca.

[gabriella127]

Per le condizioni del primo ordine, calcola la derivata parziale dell'utilità rispetto a $Q_M$ ponendola uguale a 0. Fin qui mi sembra tutto chiaro. Poi però scrive:

$\(partial U)/ \(partial Q_M) - \(partial U)/ \(partial Q_P) * P_M/P_P = 0 $.
Cosa c'entra la derivata parziale rispetto a $Q_P$? Non sarebbe bastato scrivere $\(partial U)/ \(partial Q_M) = 0$ per descrivere il procedimento generale?

Non ho ora il tempo di leggere per intero i tuoi due post.
E naturalmente non so che dice il tuo libro e/o dispense.
Ti rispondo ora solo su questo punto, con l'aiuto della solita palla di vetro che predice quello che scrive il libro.

Quest'ultima formula probabilmente viene ricavata dalla massimizzazione usando i moltiplicatori di Lagrange, invece della massimizzazione con sostituzione nella funzione di utilità.
Formalmente il risultato deve essere uguale, il motivo della formula sopra è economico, non matematico, cioè ha una rilevante interpretazione economica il fatto che il rapporto delle utilltà marginali è uguale al rapporto tra i prezzi: mostra come, in un certo senso, in un mercato i prezzi relativi rispecchino le preferenze dei consumatori.

Per quanto riguarda i calcoli, non ho ora il tempo di guardarli, e la palla di vetro non sa se sono giusti o no .

[gabriella127]

È una ipotesi eh?
Però in effetti se guardiamo solo al consumatore basta dire che il rapposto tra le utilità marginale è uguale al rapporto tra i prezzi, cioè la pendenza della curva di indifferenza e quella del vincolo di bilancio sono uguali nel punto di ottimo, cioè il vincolo di bilancio è tangente alla curva di indiffrenza.
Insomma, serve anche per fare il grafico. È importante.

Attieniti a questo, sopra l'ho presa troppo larga, quelle probabilmente sono considerazion sull'economia neoclassica che ora non si usano più tanto fare, lascia stare, se no si può fare confusione.

[HowardRoark]

Quest'ultima formula probabilmente viene ricavata dalla massimizzazione usando i moltiplicatori di Lagrange, invece della massimizzazione con sostituzione nella funzione di utilità.

Ti confermo che questo procedimento è quello della massimizzazione con sostituzione. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange viene introdotto subito dopo questo.

Formalmente il risultato deve essere uguale, il motivo della formula sopra è economico, non matematico, cioè ha una rilevante interpretazione economica il fatto che il rapporto delle utilltà marginali è uguale al rapporto tra i prezzi: mostra come, in un certo senso, in un mercato di concorrenza perfetta i prezzi relativi rispecchino le preferenze dei consumatori.

Per il momento mi basta che a livello matematico i conti tornino, ora provo a rielaborare tutti questi procedimenti e vedo se ogni passaggio è chiaro.

[gabriella127]

Ti ripeto, guarda solo al fatto formale e che in equilibrio il vincolo di bilancio è tangente alla curva di indifferenza, la parte grafica è la prima cosa che può essere chiesta a un esame.
Quando posso guardo i calcoli che hai postato.

Lascia stare il resto di quello che ho detto. Per la fretta sono un po’ partita per la tangente, ho avuto un ritorno di cose studiate quando stavo all’università, allora si usava di più un approccio storico-filosofico e si facevano quei discorsi, si parlava di 'sovranità del consumatore', e simili.
Io ho studiato e mi sono laureata con Augusto Graziani, economista molto noto, considerato una delle migliori menti di quella generazione, che era del genere ‘eterodosso’, e ha scritto cose molto belle e di grande spessore intellettuale, come il suo manuale di microeconomia, ora considerato fuori moda.

Quindi lascia ora stare quelle considerazioni, che non c’entrano con il tuo corso.

[HowardRoark]

Ti ripeto, guarda solo al fatto formale e che in equilibrio il vincolo di bilancio è tangente alla curva di indifferenza, la parte grafica è la prima cosa che può essere chiesta a un esame.

Questo mi è già chiaro ovviamente.

Quando posso guardo i calcoli che hai postato.

Grazie mille!

[gabriella127]

Il problema allora diventa: scegliere $Q_M$ in modo da massimizzare:

$U(Q_M, (Y)/(P_P) - (P_M)/(P_P) * Q_M)$.

Per le condizioni del primo ordine, calcola la derivata parziale dell'utilità rispetto a $Q_M$ ponendola uguale a 0. Fin qui mi sembra tutto chiaro. Poi però scrive:

$\(partial U)/ \(partial Q_M) - \(partial U)/ \(partial Q_P) * P_M/P_P = 0 $.
Cosa c'entra la derivata parziale rispetto a $Q_P$? Non sarebbe bastato scrivere $\(partial U)/ \(partial Q_M) = 0$ per descrivere il procedimento generale?

Come hai scritto nel post dopo, sta usando la regola di derivazione di funzione composta, visto che sta risolvendo sostituendo il vincolo nella funzione di utilità.

Lo stesso risultato viene usando i moltiplicatori di Lagrange, che poi è il metodo più consueto.

[HowardRoark]

Ti ringrazio per la conferma. Mi sono confuso perché per me la cosa più usuale sarebbe stata derivare la funzione di utilità direttamente rispetto a $Q_M$ e scrivere $Q_P$ direttamente in funzione di $Q_M$, che poi sarebbe la stessa cosa.