Ciao
la dimostrazione è molto semplice
$lim_(n->oo) root(n)(-a) = lim_(n->oo) (-a^(1/n)) = -a^(1/oo) = -a^0 = 1$
per quanto riguarda il secondo limite, è un pochino più complesso ma ci si arriva
$lim_(n->oo) root(n)(-n) = lim_(n->oo) (-n)^(1/n) = lim_(n->oo) e^(ln(-n)^(1/n)) = lim_(n->oo) e^(1/n ln(-n)) =e^( lim_(n->oo) (1/n ln(-n))) = e^( lim_(n->oo) (ln(-n)/n))$
quindi non ti resta che risolvere il limite $lim_(n->oo) (ln(-n)/n)$
inizialmente come vedi è una forma indeterminata del tipo $oo/oo$
ma siccome sia la funzione $ln(-x)$ che la funzione $x$ sono entrambe continue e derivabili nel loro dominio, puoi utilizza del'Hopital quindi ottieni
$lim_(n->oo) (ln(-n)/n) = lim_(n->oo) ((-1/n)/1) = lim_(n->oo) (-1/n) = -1/oo=0$
pertanto, ricapitolando:
$lim_(n->oo) root(n)(-n) = e^( lim_(n->oo) (ln(-n)/n)) = e^0 = 1$
spero di esserti stato di aiuto
Ciao