Per risolvere lesercizio, possiamo avvalerci degli sviluppi fondamentali delle funzioni esponenziale, coseno e logaritmo; ricordiamo che le funzioni hanno i seguenti sviluppi:
[math] e^z = 1 + z + frac(z^2)(2) + frac(z^3)(6) + + frac(z^n)(n!) + o(z^n) [/math]
[math] \\log(1+z) = z - frac(z^2)(2) + frac(z^3)(3) + + (-1)^{n+1} frac(z^n)(n) + o(z^n) [/math]
[math] \\cos(z) = 1 - frac(z^2)(2) + frac(z^4)(24) - + frac((-1)^n z^{2n})({2n}!) + o(z^{2n}) [/math]
Poich richiesto uno sviluppo al secondo ordine della funzione
[math]f(x)[/math]
, e dato che essa data dal prodotto delle funzioni esponenziale, logaritmo e coseno, sar su?ciente sviluppare tali funzioni nel modo seguente: la funzione esponenziale pu essere sviluppata al primo ordine:
[math] e^z = 1 + x + o(x) [/math]
mentre le funzioni coseno e logaritmo entrambe al secondo ordine:
[math] \\log(1+x) = x - frac(x^2)(2) + o(x^2) [/math]
[math] \\cos(z) = 1 - frac(x^2)(2) + o(x^2) [/math]
In questo modo otterremo uno sviluppo della funzione di partenza al secondo ordine; procediamo con i prodotti:
[math] f(x) = e^x \\log(1+x) \\cos(x) = (1 + x + o(x)) \cdot (x - frac(x^2)(2) + o(x^2)) \cdot (1 - frac(x^2)(2) + o(x^2)) [/math]
Per semplicit svolgiamo inizialmente il prodotto tra i primi due fattori:
[math] f(x) = ( x + x^2 + o(x^2) - frac(x^2)(2) - frac(x^3)(2) + o(x^3) ) \cdot (1 - frac(x^2)(2) + o(x^2)) [/math]
Come sappiamo, gli in?nitesimi di ordine maggiore vengono inglobati da quelli di ordine minore, quindi in questo caso le potenze di 3 verranno inglobate allinterno di
[math]o(x^2)[/math]
:
[math] f(x) = ( x + frac(x^2)(2) + o(x^2) ) \cdot (1 - frac(x^2)(2) + o(x^2)) [/math]
Procediamo quindi con il secondo prodotto:
[math] f(x) = x - frac(x^3)(2) + o(x^3) + frac(x^2)(2) - frac(x^4)(4) + o(x^4) + o(x^2) [/math]
Applicando lo stesso ragionamento visto in precedenza, possiamo ottenere il risultato ?nale:
[math] f(x) = x + frac(x^2)(2) + o(x^2) [/math]
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