Per la risoluzione dellesercizio possiamo avvalerci degli sviluppi fondamentali delle funzioni logaritmo, seno e coseno, in quanto lo sviluppo richiesto della funzione di partenza centrato nel punto
[math]x_0=0[/math]
.
Ricordiamo, quindi, che gli sviluppi fondamentali sono i seguenti:
per la funzione logaritmica si ha:
[math] \\log(1+z) = z- frac(z^2)(2) + frac(z^3)(3) + + (-1)^{n+1} frac(z^n)(n) + o(z^n) [/math]
per la funzione seno:
[math] \\sin(x) = x - frac(x^3)(6) + frac(x^5)(120) - + frac((-1)^n x^{2n+1})({2n+1}!) + o(x^{2n+1}) [/math]
e in?ne per la funzione coseno:
[math] \\cos(x) = 1 - frac(x^2)(2) + frac(x^4)(24) - + frac((-1)^n x^{2n})({2n}!) + o(x^{2n}) [/math]
Possiamo quindi procedere allo svolgimento; per comodit, possiamo considerare inizialmente solo lespressione che costituisce il secondo fattore della funzione, e sviluppare essa al terzo ordine.
Essendo poi moltiplicata per x, ci fornir un quanto ordine della funzione di partenza.
Cominciamo quindi sviluppando le funzioni seno e coseno al quarto ordine:
[math] \\sin(x) = x - frac(x^3)(6) + o(x^4) [/math]
[math] \\cos(x) = 1 - frac(x^2)(2) + frac(x^4)(24) + o(x^4) [/math]
Ora, possiamo procedere determinando lo sviluppo della funzione logaritmo al quarto ordine:
[math] \\log(1+z) = z- frac(z^2)(2) + frac(z^3)(3) - frac(z^4)(4) + o(z^4) [/math]
Tornando allespressione presente, abbiamo che largomento del logaritmo dato da:
[math] \\sin(x) + \\cos(x) = x - frac(x^3)(6) + o(x^4) + 1 - frac(x^2)(2) + frac(x^4)(24) + o(x^4) = [/math]
[math] 1 + x - frac(x^2)(2) - frac(x^3)(6) + frac(x^4)(24) + o(x^4) [/math]
Quindi, la sostituzione che dobbiamo e?ettuare la seguente:
[math] z = x - frac(x^2)(2) - frac(x^3)(6) + frac(x^4)(24) + o(x^4) [/math]
Per sempli?care i calcoli, possiamo tralasciare tutte le potenze di grado maggiore di quattro, in quanto esse vengono incluse allinterno di
[math] o(x^4)[/math]
; procediamo calcolando separatamente le varie potenze di
[math]z[/math]
:
[math] z^2 = (x - frac(x^2)(2) - frac(x^3)(6) + frac(x^4)(24) + o(x^4))^2 = x^2 - x^3 - frac(1)(12) x^4 + o(x^4) [/math]
[math] z^3 = (x - frac(x^2)(2) - frac(x^3)(6) + frac(x^4)(24) + o(x^4))^3 = x^3 - frac(3)(2) x^4 + o(x^4) [/math]
[math] z^4 = (x - frac(x^2)(2) - frac(x^3)(6) + frac(x^4)(24) + o(x^4))^4 = x^4 + o(x^4) [/math]
Possiamo ora sostituire le espressioni trovate nello sviluppo del logaritmo:
[math] \\log(1+z) = z- frac(z^2)(2) + frac(z^3)(3) - frac(z^4)(4) + o(z^4) = [/math]
[math] x - frac(x^2)(2) - frac(x^3)(6) + frac(x^4)(24) + o(x^4) - 1/2 (x^2 - x^3 - frac(1)(12) x^4 + o(x^4)) + 1/3 (x^3 - frac(3)(2) x^4 + o(x^4)) - 1/4 (x^4 + o(x^4)) [/math]
Svolgiamo i calcoli:
[math] \\log(1+z) = x - frac(x^2)(2) - frac(x^3)(6) + frac(x^4)(24) - 1/2 x^2 + 1/2 x^3 + frac(1)(24) x^4 + 1/3 x^3 - frac(1)(2) x^4 - 1/4 x^4 + o(x^4)) = [/math]
[math] x - x^2 + frac(2)(3) x^3 - 2/3 x^4 + o(x^4)) [/math]
Moltiplichiamo ora tutto per x, ottenendo cos lo sviluppo ?nale:
[math] x \\log(1+z) = x^2 - x^3 + frac(2)(3) x^4 + o(x^4) [/math]
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