La funzione si presenta in una forma per la quale possibile applicare lo sviluppo noto di alcune funzioni; in particolare, in questo caso gli sviluppi che verranno utilizzati sono quelli delle funzioni esponenziale, logaritmo e seno, che ricordiamo essere i seguenti:
[math] e^z = 1 + z + frac(z^2)(2) + frac(z^3)(6) + + frac(z^n)(n!) + o(z^n) [/math]
[math] \\log(1+z) = z- frac(z^2)(2) + frac(z^3)(3) + + (-1)^{n+1} frac(z^n)(n) + o(z^n) [/math]
[math] \\sin(x) = x - frac(x^3)(6) + frac(x^5)(120) - + frac((-1)^n x^{2n+1})({2n+1}!) + o(x^{2n+1}) [/math]
Possiamo procedere concentrandoci inizialmente sulla prima parte della funzione, ovvero il termine
[math]e^{ x^2 \\log( 1 + x(x+1) ) }[/math]
e sviluppando tale termine al quinto ordine di in?nitesimo.
Per farlo, notiamo che largomento dellesponenziale dato dal prodotto di una funzione logaritmica e di una potenza di x (
[math]x^2[/math]
).
Per ottenere un quinto grado, quindi, sar necessario sviluppare
[math]\\log( 1 + x(x+1) ) [/math]
al terzo ordine.
Procediamo, quindi, sviluppando la funzione
[math]\\log(1+z)[/math]
al terzo ordine:
[math] \\log(1+z) = z- frac(z^2)(2) + frac(z^3)(3) + o(z^3) [/math]
Ora, possiamo apportare la seguente sostituzione:
[math] z = x(x+1) = x^2 + x [/math]
; luguaglianza
[math] o(z) = o( x + x^2)[/math]
valida, in quanto il comportamento delle funzioni
[math]x[/math]
e
[math] x^2 + 2[/math]
pressoch uguale quando x tende a zero.
Procediamo, quindi, con la sostituzione:
[math] \\log(1+ x(x+1)) = x^2 + x - frac((x^2 + x)^2)(2) + frac((x^2 + x)^3)(3) + o((x^2 + x)^3) [/math]
Svolgiamo i calcoli:
[math] \\log(1+ x(x+1)) = x^2 + x -1/2 x^4 - 1/2 x^2 - x^3 + 1/3 x^6 + 1/3 x^3 + x^5 + x^4 + o( x^3) [/math]
Possiamo tralasciare i termini con esponenti maggiori di 3, in quanto essi vengono considerati allinterno di
[math] o(x^3)[/math]
:
[math] \\log(1+ x(x+1)) = x^2 + x - 1/2 x^2 - x^3 + 1/3 x^3 + o( x^3) = x + 1/2 x^2 - 2/3 x^3 + o( x^3) [/math]
Nella funzione di partenza, tale logaritmo moltiplicato per il fattore
[math]x^2[/math]
:
[math] x^2 \cdot \\log(1+ x(x+1)) = x^2 [ x + 1/2 x^2 - 2/3 x^3 + o( x^3)] = [/math]
[math] x^3 + 1/2 x^4 - 2/3 x^5 + o( x^5) [/math]
Tale espressione costituisce lesponente di unesponenziale; per poter determinare lo sviluppo complessivo, dobbiamo inizialmente calcolare lo sviluppo della funzione esponenziale; sar su?ciente fermarsi al secondo ordine, ottenendo un sesto ordine complessivo:
[math] e^z = 1 + z + frac(z^2)(2) + o(z^2) [/math]
Sostituiamo a
[math]z[/math]
lespressione
[math] x^3 + 1/2 x^4 - 2/3 x^5 + o( x^5) [/math]
:
$ e^(x^2 * log(1+ x(x+1))) = 1 + [x^3 + 1/2 x^4 - 2/3 x^5 + o( x^5)] + frac((x^3 + 1/2 x^4 - 2/3 x^5
+ o( x^5))^2)(2) + o((x^3 + 1/2 x^4 - 2/3 x^5 + o( x^5))^2) $
Come prima, nello svolgimento dei calcoli, possiamo tralasciare i termini che presentano esponenti maggiori di 5, che verranno ravvolti allinterno di
[math]o(x^5)[/math]
:
[math] e^{x^2 \cdot \\log(1+ x(x+1))} = 1 + x^3 + 1/2 x^4 - 2/3 x^5 + 1/2 x^6 + o(x^5) [/math]
Possiamo quindi procedere con lo sviluppo della seconda parte della funzione, ovvero con lo sviluppo dellespressione
[math]x \\sin(x) [/math]
; in questo caso, dobbiamo sviluppare solo la funzione seno, e lo sviluppo dovr essere di quarto ordine (moltiplicato per x ci consentir di ottenere un quinto ordine complessivo).
Lo sviluppo della funzione seno il seguente:
[math] \\sin(x) = x - frac(x^3)(6) + o(x^4) [/math]
Moltiplichiamo tale espressione per x:
[math] x \cdot \\sin(x) = x \cdot [x - frac(x^3)(6) + o(x^4)] = x^2 - frac(x^4)(6) + o(x^5) [/math]
Possiamo in?ne determinare lo sviluppo complessivo della funzione di partenza:
[math] f(x) = e^{ x^2 \\log( 1 + x(x+1) ) } + x \\sin(x) = [/math]
[math]1 + x^3 + 1/2 x^4 - 2/3 x^5 + 1/2 x^6 + o(x^5) + x^2 - frac(x^4)(6) + o(x^5) = [/math]
[math] 1 + x^2 + x^3 + 1/3 x^4 - 2/3 x^5 + o(x^5) [/math]
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