Abbiamo già discusso della soluzione nell'altra discussione, ma siccome ho in mente una soluzione generale che non faccia uso del teorema di Van Kampen o dell'induzione e che si adatta particolarmente bene anche al calcolo dell'omologia singolare di \(X_n\), lo propongo.
Come abbiamo già osservato, la sfera con \(2\,n\) buchi è un retratto forte di deformazione di \(X_n\) e possiamo quindi ridurci a questo spazio sia per il calcolo dell'omologia, sia per il calcolo del gruppo fondamentale.
Costruiamo quindi la decomposizione di Voronoi della sfera a partire dai nostri \(2\,n\) punti, definendo quindi una struttura di CW-complesso regolare su tale sfera (in cui le celle possiamo volendo considerarle poligonali). Siccome ogni \(2\)-cella ha un buco, l'\(1\)-scheletro \(K^{(1)}\) di questo spazio è un retratto forte di deformazione di \(X_n\). \(K^{(1)}\) è un grafo e quindi sappiamo che il suo gruppo fondamentale è ottenuto contraendo un suo albero di copertura minimo ad un punto ottenendo un bouquet di \(E - V + 1\) circonferenze. Per ottenere questo valore, consideriamo nuovamente la decomposizione di Voronoi e osserviamo che la caratteristica di Eulero-Poincaré di tale decomposizione è uguale a \(V - E + F = 2\), dove ci sono \(F = 2\,n\) facce. Per cui otteniamo che \( E - V = 2\,n - 2 \) e quindi che il gruppo fondamentale è il gruppo libero con \(2\,n - 1\) generatori come volevasi dimostrare.
A questo punto, calcolare i gruppi di omologia è immediato. \(X_n\) ha come retratto forte di deformazione un bouquet di \(2\,n - 1\) circonferenze, per cui si ha \(H_0(X_n) = \mathbb Z\) e \(H_1(X_n) = \mathbb Z^{2\,n - 1}\). Ovviamente \(H_k(X_n) = 0\) se \(k \ge 2\).
Ma a questo punto rilancio, sempre \(n\) rette, sempre \(\mathbb R^3\), ma questa volta si incontrano a coppie nei vertici di un poligono regolare di \(n\) lati (le rette sono in pratica i prolungamenti di tali lati). Sempre omotopia e omologia.. Buon divertimento.
