Ciao,
sto studiando per l'esame di Algebra 2 (uno degli ultimi). Tratta della Teoria degli Anelli e dei Campi.
Sto facendo un casino di esercizi, ma non ho modo di confrontarmi con i colleghi ne tanto meno con il prof. Pertanto chiedo qui aiuto nel capire più che altro se ciò che faccio va bene.
Uno dei primi dubbi sta su questo genere di richieste.
Esercizio
Sia $f \in Q$ definito ponendo $f(x) = 4x^4 + x^2 - 3x + 1$. Sia inoltre $J = (f)$.
1) Determinare se $Q[x]$$ / J$ è un campo.
2) Determinare, se esiste, l'inverso di $x + J \in Q[x]$ $/J$
Questa è la mia soluzione:
proof
1) Affermo che $Q[x]$ $ / J$ non è un campo. Infatti per una caratterizzazione è noto che $Q[x]$ $ / J$ Campo se e solo se $J$ ideale massimale se e solo se $f(x)$ irriducibile.
Infatti $f(x)$ non è irriducibile su $Q$, in quanto si può scomporre almeno nel seguente modo: $f(x) = (x-1/2) * g(x)$, con $g(x) \in Q[x]$ e $deg(g) = 3$.
** ometto il modo col quale ho trovato la radice.
2) Qui sorge il dubbio (più che altro per giustificare ciò che faccio).
--Parentesi
In altri esercizi, simili, è capitato che il quoziente sia stato un Campo. Li senza dubbio affermo che esiste l'inverso (moltiplicativo) di qualsiasi elemento (non nullo), e quindi l'inverso del laterale richiesto in particolare.
Non so in questo caso come giustificare.
Posso dire semplicemente che $(x, 4x^4 + x^2 - 3x + 1) = 1$, con l'Algoritmo di divisione Euclidea e con Bezout ricavo l'inverso?
--Parentesi
Osservo che $x + J \ne J$. Infatti $deg(x) < deg (f)$.
Affermo che $(x, 4x^4 + x^2 - 3x + 1) = 1$, ovvero $\exists a,b \in Q[x] t.c.$ $ax + bf = 1$, ovvero isolando "ax" e passando alle classi laterali, si ha
$(a + J) (x+ J) = (1 + J) + (-bf + J)$ ovvero
$(a + J) (x+ J) = (1 + J)$
Dall'Algoritmo della divisione Euclidea (ometto i calcoli) ricavo che
$f = (x^3 + x - 3) * x + 1$, ovvero
$1 = f - x * (x^3 + x -3)$ e quindi
$(x^3 + x - 3) + J$ è l'inverso cercato.
Ricapitolo il dubbio: se viene fuori che il quoziente è un campo l'inverso esiste e lo trovo (spero il procedimento, almeno in tal caso sia esatto). Se invece il quoziente non è un campo? Secondo me non riesco a giustificare l'esistenza. Ma il calcolo si fa così?
Grazie