Buona sera.
La derivata di una funzione \(\displaystyle f \) in un punto è pari al coefficiente angolare della retta tangente ad \(\displaystyle f \) nel punto in cui si calcola la derivata. La retta tangente in esame, però, passa per definizione per due punti infinitamente vicini. Mi è sorta pertanto la seguente domanda:
Quando troviamo il punto di massimo \(\displaystyle P \) di una funzione, abbiamo che la tangente a quel punto è orizzontale, ovvero ha coefficiente angolare nullo. Se è vero che la tangente passa sempre per due punti, allora "a fianco" al punto di massimo dobbiamo concepire un punto, anch'esso di massimo, infinitamente vicino a \(\displaystyle P \)? Questo seguirebbe direttamente dalla necessità di avere due punti per i quali passi la tangente.
E' una questione di definizioni, forse, ma a partire da questa domanda seguono altre considerazioni. Ad esempio, poiché il punto è un ente geometrico a dimensione nulla, l'unione dei due punti infinitamente vicini costituisce a sua volta un punto a dimensione nulla? In tal caso il punto di massimo non è distinguibile, in termini geometrici e numerici, dall'unione del punto di massimo con quello a fianco. Con "unione" intendo che, essendo infinitamente vicini, "collassano" l'uno sull'altro senza sovrapporsi.
Qualcuno può aiutarmi a trovare una delucidazione in merito?