Funzioni di classe $C^n$ e teorema di Schwarz

[HowardRoark]

Dai miei appunti ho questa definizione di classe $C^2$: sia $f: X sube RR^2 -> RR$ una funzione. Una funzione si dice di classe $C^2(X)$ se è derivabile due volte e se risultano continue le sue derivate parziali seconde.
Ma quindi la funzione $f(x,y) = sqrt(x^2+y^2)$ è di classe $C^2$? A me verrebbe da dire di no, perché dalla definizione mi sembra di capire che le derivate parziali seconde debbano essere continue in tutto il dominio della funzione originaria. Il dominio di $f(x,y) = sqrt(x^2+y^2)$ è $RR^2$ ma $f_x(x,y) = x/sqrt(x^2+y^2)$ che è continua nel suo dominio ma non in $(0,0$), punto che invece appartiene alla funzione di partenza. Quindi mi verrebbe da dire che $sqrt(x^2+y^2)$ non sia nemmeno di classe $C^1$.
Mi interessa capire questa cosa sopratutto perché nel corso che ho seguito si è enunciato il teorema di Schwarz senza dimostrarlo, e vorrei almeno capire quando lo devo applicare e quando no. Infatti quest'ultimo si applica solo se le funzioni sono di classe $C^2$.

[Quinzio]

La funzione $f(x,y) = sqrt(x^2+y^2) = |r|$ e' un cono (a una falda). $r$ per raggio. Non e' neanche $C^1$.

[HowardRoark]

Però per $sqrt(x^2+y^2)=|r|$ il teorema di Schwarz si applica in tutto $RR^2$ tranne in $(0,0)$, giusto?

[Quinzio]

Però per $sqrt(x^2+y^2)=|r|$ il teorema di Schwarz si applica in tutto $RR^2$ tranne in $(0,0)$, giusto?

Beh si, se togli l'origine allora diventa $C^2$.

[gugo82]

[…] il teorema di Schwarz […] si applica solo se le funzioni sono di classe $C^2$.

Beh, no.
Ci sono condizioni più deboli di “$f in C^2(X)$” sotto le quali la tesi (i.e., la permutabilità delle derivate parziali) rimane valida.
Tuttavia, sono fatti tecnici che interessano poco gli studenti di economia o ingegneria perché usualmente hanno a che fare solo con funzioni abbastanza regolari.

Però per $sqrt(x^2+y^2)=|r|$ il teorema di Schwarz si applica in tutto $RR^2$ tranne in $(0,0)$, giusto?

Beh si, se togli l'origine allora diventa $C^2$.

In realtà, se elimini $(0,0)$ la $f$ diventa $C^(text(quello che vuoi))$.

[gabriella127]

@HowardRoak
Guarda questi brevi appunti qui su Matematicamente (revisionati da Luca Lussardi), in due paginette ti dice tutto quello che ti serve.
Anche quello che diceva gugo, che in realtà non è necessario che le funzioni siano $C^2$, ma bastano ipotesi più deboli.
Effettivamente dal punto di vista pratico ha scarsa importanza in economia, e una volta saputo te ne puoi fregare.
Ma in verità il teorema di Schwarz in genere non dice 'le funzioni devono essere $C^2$, e questo è bene che anche un economista lo sappia: che conosca l'enunciato del teorema così com'è di solito (e non 'addomesticato' per economisti razza inferiore ).
https://www.matematicamente.it/teoria/a ... nde_Rn.pdf

[HowardRoark]

https://www.matematicamente.it/teoria/a ... nde_Rn.pdf

Non ho capito bene tutti i passaggi, ad esempio non mi è chiaro perché la derivata seconda di quella funzione sia quella che allego a questo messaggio, forse c'entrano le coordinate polari ma io non le conosco. Comunque mi sembra di aver capito che affinché le derivate parziali miste siano uguali basta che la funzione sia continua in un intorno del punto nel quale sto calcolando le derivate parziali e che non è necessario siano di classe $C^2$.
Comunque non credo sia un concetto importante per l'esame che sto preparando, probabilmente più avanti ritornerò su questo argomento.

[gabriella127]

Non mi riferivo all'esempio, quello ora saltalo, perché ci sono cose che non hai fatto.
Ma in quelle due pagine c'è lo schema delle cose che ti servono sulle derivate seconde (non dico per l'esame, in genere, in futuro): il teorema di Schwarz, l'hessiana, la formula di Taylor.
Tutto in sintesi senza dimostrazioni, ma senza semplificazioni-scorciatoie matematiche arbitrarie.


Sulle ipotesi del teorema di Schwarz non è proprio come dici, ma ora non importa, l'importante è che tu (in genere, non per l'esame) ti ricordi che l'enunciato non dice $C^2$, ma un'altra cosa (più debole), stop.
Non perché tu le debba sapere, ma per non imparare cose inesatte, per il futuro, non per l'esame ora.

Forse quando fai una domanda è meglio che specifichi quando si tratta di qualche spiegazione specifica che ti serve per un esame, o se è un tuo interesse ad approfondire, come fai qui sul Forum (molto meritoriamente), altrimenti rischiamo nelle risposte di dirti o troppo o troppo poco.

[HowardRoark]

Forse quando fai una domanda è meglio che specifichi quando si tratta di qualche spiegazione specifica che ti serve per un esame, o se è un tuo interesse ad approfondire, come fai qui sul Forum (molto meritoriamente), altrimenti rischiamo nelle risposte di dirti o troppo o troppo poco.

Più che altro siccome l'ipotesi scritta nei miei appunti (e nel libro che sto utilizzando) è che la funzione sia di classe $C^2$ mi chiedevo perché quel teorema si applicasse anche a $sqrt(x^2+y^2)$. Non vorrei fare più di quanto richiesto per l'esame, almeno per ora, perché sarebbe impossibile, però questo mi sembrava un dubbio molto banale che era necessario che risolvessi da subito.
Comunque almeno ho capito che non è necessario che la funzione sia di classe $C^2$.

[gabriella127]

Ok, certo, era solo per capire meglio le tue esigenze e risponderti adeguatamente.