Rango di una matrice con due parametri

[borto1412]

Salve a tutti, ho un problema con questo esercizio:

Devo determinare il rango della matrice

$((1,b-1,3,1),(b,2,3,1),(1,1,a-1,1),(a+b-5,a-3,a-4,a-4))$

Al variare dei parametri a e b. Ora, io so che per calcolare il rango di una matrice posso agire in due modi:

1)Ridurre a gradini la matrice (e a causa dei due parametri mi viene piuttosto difficile)
2) Utilizzare il teorema dei minori orlati (Teorema di Kronecker)

Per quanto io provi a utilizzare il secondo metodo mi sembra troppo lungo e macchinoso, considerando tutti i minori 2x2 e 3x3 che devo tenere in considerazione al variare di A e B.
Mi chiedevo: esiste un modo più semplice per arrivare alla soluzione? Questo problema sarà sicuramente inserito nella prova d'esame di algebra lineare e, con un'ora a disposizione e altri 8 esercizi da fare, il mio metodo sembra di gran lunga il più scomodo.

La soluzione proposta dal professore è:
$\rho(A) = 4 if a notin{3,4} ^^ b notin {1,2}$ , $\rho(A) = 3 if (a in{3,4} ^^ b notin {1,2}) vv (a!=4 ^^ b in {1,2})$ ,
$\rho(A) = 2 if a=4 ^^ b in {1,2}$

Grazie

[garnak.olegovitc]

Salve a tutti, ho un problema con questo esercizio:
Devo determinare il rango della matrice
$((1,b-1,3,1),(b,2,3,1),(1,1,a-1,1),(a+b-5,a-3,a-4,a-4))$
Al variare dei parametri a e b. Ora, io so che per calcolare il rango di una matrice posso agire in due modi:
1)Ridurre a gradini la matrice (e a causa dei due parametri mi viene piuttosto difficile)
2) Utilizzare il teorema dei minori orlati (Teorema di Kronecker)

esiste un corollario

Siano dati \(a \in \mathfrak{M}_{n,n}\) allora \(\det(a)\neq 0 \Leftrightarrow \rho(a)=n\)

così togli di mezzo una grossa fetta

[vict85]

1)Ridurre a gradini la matrice (e a causa dei due parametri mi viene piuttosto difficile)

Non bloccarti prima ancora di averci provato e ricorda che puoi permutare a piacimento le righe e le colonne.

Per prima cosa io toglierei alcune \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \).

\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & b-1 & 3 & 1 \\
b & 2 & 3 & 1 \\
1 & 1 & a-1 & 1 \\
a+b-5 & a-3 & a-4 & a-4
\end{pmatrix} \)

Applico \(\displaystyle C3 \mapsto C3 - C4 \)
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & b-1 & 2 & 1 \\
b & 2 & 2 & 1 \\
1 & 1 & a-2 & 1 \\
a+b-5 & a-3 & 0 & a-4
\end{pmatrix} \)

Applico \(\displaystyle R4 \mapsto R4 - R2 \)
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & b-1 & 2 & 1 \\
b & 2 & 2 & 1 \\
1 & 1 & a-2 & 1 \\
a-5 & a-5 & -2 & a-5
\end{pmatrix} \)

Applico \(\displaystyle C1 \mapsto C1 - C4 \)
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & b-1 & 2 & 1 \\
b-1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 1 & a-2 & 1 \\
0 & a-5 & -2 & a-5
\end{pmatrix} \)

Applico \(\displaystyle R1 \leftrightarrow R2 \)
\(\displaystyle \begin{pmatrix} b-1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & b-1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & a-2 & 1 \\
0 & a-5 & -2 & a-5
\end{pmatrix} \)

Applico \(\displaystyle C2 \mapsto C2 - C4 \)
\(\displaystyle \begin{pmatrix} b-1 & 1 & 2 & 1 \\
0 & b-2 & 2 & 1 \\
0 & 0 & a-2 & 1 \\
0 & 0 & -2 & a-5
\end{pmatrix} \)

Applico \(\displaystyle R3 \leftrightarrow R4 \)
\(\displaystyle \begin{pmatrix} b-1 & 1 & 2 & 1 \\
0 & b-2 & 2 & 1 \\
0 & 0 & -2 & a-5 \\
0 & 0 & a-2 & 1
\end{pmatrix} \)

A questo punto occorre usare il metodo standard.

Applico \(\displaystyle R4 \mapsto R4 + \frac{a-2}{2} R3 \)
\(\displaystyle \begin{pmatrix} b-1 & 1 & 2 & 1 \\
0 & b-2 & 2 & 1 \\
0 & 0 & -2 & a-5 \\
0 & 0 & 0 & 1 - \frac{(a-5)(a-2)}{2}
\end{pmatrix} \)

\(\displaystyle \begin{pmatrix} b-1 & 1 & 2 & 1 \\
0 & b-2 & 2 & 1 \\
0 & 0 & -2 & a-5 \\
0 & 0 & 0 & 1 - \frac{a^2 -7a + 10}{2}
\end{pmatrix} \)

\(\displaystyle \begin{pmatrix} b-1 & 1 & 2 & 1 \\
0 & b-2 & 2 & 1 \\
0 & 0 & -2 & a-5 \\
0 & 0 & 0 & \frac{-a^2 +7a - 8}{2}
\end{pmatrix} \)

Nota che questa è una matrice parametrica simile alla prima e che non ho avuto bisogno di fare divisioni per \(\displaystyle a \) o \(\displaystyle b \). Quindi quella matrice è sempre definita. Ora in pratica devi lavorare su una matrice triangolare .

[borto1412]

esiste un corollario

Siano dati \(a \in \mathfrak{M}_{n,n}\) allora \(\det(a)\neq 0 \Leftrightarrow \rho(a)=n\)

così togli di mezzo una grossa fetta

Si, conoscevo quel corollario, il problema principale era però legarlo ai parametri quando ottengo il determinante : avendo un determinante in "a" e "b", sarebbe stato complesso determinare i valori che lo avrebbero annullato. Grazie della risposta

[borto1412]

e ricorda che puoi permutare a piacimento le righe e le colonne.

Ti ringrazio tantissimo della risposta, in questo modo sono riuscito a sbloccarmi. Il problema principale era il fatto che il mio libro non citasse le trasformazioni colonna (ma solo quelle riga) per ridurre la matrice a gradini, considerando solo marginalmente lo "scambio di colonne". Ho provato a fare altri esercizi e sono riuscito a capire il funzionamento in modo corretto (credo). Grazie mille!!

[vict85]

Quello che ho fatto è sfruttare il fatto che lo spazio delle colonne e lo spazio delle righe hanno lo stesso rango. Quello che fai riducendo a gradini è lavorare in uno dei due spazi (spesso in quello delle righe) per semplificarlo. Ogni operazione tra le righe mantiene il rango della matrice inalterato ed è equivalente a moltiplicare la matrice a sinistra per una matrice invertibile.

Qualche esempio:
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\
7 & 8 & 9 \\
4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \)

\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\
-3 & -3 & -3 \\
7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \)

Se tu invece moltiplichi a destra per una matrice invertibile allora lavori sulle colonne.

Qualche esempio:
\(\displaystyle
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\
7 & 8 & 9 \\
4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \)

\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\
4 & 6 & 5 \\
7 & 9 & 8 \end{pmatrix} \)

Il punto è che queste operazioni non cambiano il rango e che stai costruendo una successione di matrici aventi tutti lo stesso rango. La cosa è piuttosto evidente se pensi al fatto che la moltiplicazione per una matrice invertibile può anche essere interpretata come un cambio di base. Dato questa ultima osservazione puoi anche pensare di star cambiando le basi di dominio e immagine in modo di raggiungere qualcosa di utile.

Nota che di fatto la matrice \(\displaystyle T \) finale risulta essere uguale a \(\displaystyle PAQ^{-1} \) per \(\displaystyle P,Q \) invertibili.