Rango di una matrice e Teorema di Kronecker

Definizioni

Definizione 1. Matrice estratta.
Sia $A$ una matrice qualsiasi di ordine $(m,n)$. Una matrice $B$ di ordine $(m’,n’)$, con $m’\le m$ ed $n’\le n$, si dice estratta da $A$ allorché, scelte in modo opportuno $m’$ righe ed $n’$ colonne di $A$, $B$ risulta formata ordinatamente da quegli elementi di $A$ che appartengono contemporaneamente alle linee prescelte.
Matrice estratta

Definizione 2. Minore d’ordine $p$.
Sia $A$ una matrice, e sia $B$ una matrice quadrata da essa estratta. Se $B$ ha ordine $p$, ovvero se ha $p$ righe e $p$ colonne, allora $|B|$ è detto minore di ordine $p$ della matrice $A$.

Definizione 3. Rango di una matrice.
Sia $A$ una matrice; si chiama rango di $A$ e si indica con $r$ il massimo ordine dei suoi minori non nulli.

Osservazione 1. La definizione 3 può essere resa meno rigorosa, ma più chiara, nel modo che segue. Consideriamo la matrice quadrata di ordine più alto tra tutte quelle estratte da $A$ aventi determinante non nullo: il suo ordine è il rango di $A$. Ciò equivale ad affermare non solo che esiste una sottomatrice di $A$ di ordine $r$ il cui determinante è non nullo, ma anche che tutte le altre matrici quadrate estratte da $A$ aventi ordine maggiore di $r$ hanno determinante nullo.

Osservazione 2: Per quanto la definizione sia semplice, l’effettivo calcolo del rango di una matrice può rivelarsi complicato. A questo scopo introduciamo la definizione seguente:

Definizione 4. Matrice orlata.
Sia data una matrice $A$ qualsiasi. Una matrice $B$ ricavata da $A$ aggiungendole esattamente una riga ed una colonna viene detta matrice orlata di $A$ o orlato di $A$, ed il passare in tal modo da $A$ a $B$ si dice orlare.

Osservazione 3. Com’è chiaro, se $B$ è un orlato di $A$, allora $A$ è una sottomatrice di $B$ e si può considerare come una sua particolare matrice estratta.

 

Teorema di Kronecker

Teorema di Kronecker. Sia data una matrice $A$. Essa ha rango $r$ se e soltanto se esiste $B$ un minore di ordine $r$ di $A$ non nullo e tutte le matrici che si ottengono da $B$ orlandolo con righe e colonne di $A$ hanno determinante nullo.

Osservazione 4. In virtù del Teorema di Kronecker, che non dimostriamo, la procedura che è necessario seguire per determinare il rango della matrice $A$ è notevolmente semplificata, e si può riassumere nell’algoritmo seguente:

  1. Scegliere un elemento di $A$ non nullo (se $A$ è la matrice nulla, il suo rango è $r=0$).
  2. Orlarlo in tutti i modi possibili con righe e colonne di $A$, calcolando tutti i determinanti.
  3. Se tutti i determinanti sono nulli, allora $r=1$. Se così non è, abbiamo trovato una
    matrice estratta da $A$ avente ordine 2 il cui determinante è non nullo.
  4. Orlare tale matrice in tutti i modi possibili con righe e colonne di $A$.
  5. Se tutti i determinanti delle matrici risultanti sono nulli, allora $r=2$. Altrimenti abbiamo una matrice estratta da $A$ avente ordine 3 e determinante non nullo.

Continuando così fino a che non è più possibile orlare il minore in esame, o fermandosi prima se tutti i determinanti esaminati sono nulli, si determina il rango di $A$.

 

Esempi

Esempio 1. Calcolare il rango della matrice
\[
A=\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3\\
-1 & 1 & -1\\
2 & 1 & 0\\
\end{pmatrix}
\]
Per risolvere questo esercizio vogliamo adoperare il Teorema di Kronecker, in particolare nella forma fornitaci dall’osservazione 4. A questo proposito osserviamo subito che la matrice è non nulla, e quindi il suo rango non può essere 0; nello scegliere un suo qualsiasi elemento non nullo, tipicamente si preferisce prendere il primo elemento della prima riga, quindi
\[
\begin{array}{ccc}
\begin{pmatrix}
\color{red}1 & -1 & 3\\
-1 & 1 & -1\\
2 & 1 & 0\\
\end{pmatrix}, &
|1|=1\ne 0\Rightarrow &
r\ge 1
\end{array}
\]
Adesso occorre orlare il minore prescelto. Per fare ciò, scegliamo una riga e una colonna cui tale elemento non appartenga, e consideriamo la matrice formata da esse:
\[
\begin{array}{cc}
\begin{pmatrix}
\color{red}1 & \color{green}-\color{green}1 & 3\\
\color{green}-\color{green}1 & \color{green}1 & -1\\
2 & 1 & 0\\
\end{pmatrix}, &
\begin{vmatrix}
1 & -1\\
-1 & 1\\
\end{vmatrix}=0
\end{array}
\]
Il determinante di questa matrice è 0. Ciò non aggiunge nulla alla nostra conoscenza del rango della matrice $A$, perchè solo se tutti gli orlati della matrice rossa hanno determinante nullo allora potremo concludere che $r=1$. Orliamo dunque il primo elemento con una differente combinazione di righe e colonne:
\[
\begin{array}{cc}
\begin{pmatrix}
\color{red}1 & -1 & \color{green}3\\
\color{green}-\color{green}1 & 1 & \color{green}-\color{green}1\\
2 & 1 & 0\\
\end{pmatrix}, &
\begin{vmatrix}
1 & 3\\
-1 & -1\\
\end{vmatrix}=1+3=4\ne 0\Rightarrow r\ge 2
\end{array}
\]
Questa volta abbiamo trovato un minore non nullo. Ciò ci consente di dire che non tutti i minori di $A$ di ordine 2 sono nulli, e che quindi il rango è per lo meno 2. Per accertarcene non resta che orlare il minore di ordine 2 trovato nell’unico modo possibile:
\[
\begin{array}{ccc}
\begin{pmatrix}
\color{red}1 & \color{green}-\color{green}1 & \color{red}3\\
\color{red}-\color{red}1 & \color{green}1 & \color{red}-\color{red}1\\
\color{green}2 & \color{green}1 & \color{green}0\\
\end{pmatrix}, &
\begin{vmatrix}
1 & -1 & 3\\
-1 & 1 & -1\\
2 & 1 & 0\\
\end{vmatrix}=-6\ne 0\Rightarrow &
r=3
\end{array}
\]
Poiché tale determinante non è nullo, il rango di $A$ è $r=3$.

 

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Esercizio proposto

Determinare il rango della seguente matrice:

$((1,b-1,3,1),(b,2,3,1),(1,1,a-1,1),(a+b-5,a-3,a-4,a-4))$

Sei in difficoltà? Guarda la soluzione proposta nel forum di Matematicamente.it!

 

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