[Analisi]-Cercando un limite di una somma

[Mathematico]

Ho scoperto da qualche giorno l'esistenza di questa bella sezione, e per darle "la mia benedizione" vorrei proporre un esercizio magari facile, non so dirlo. Ad ogni modo:

Dimostrare che \( \displaystyle \forall \alpha\in\mathbb{N}_{>0}\qquad\lim_{k\to\infty}\sum_{n=\alpha}^k \frac{1}{n+k}= \log(2) \)

Spero vi piaccia
__________
Nota: Questo obbrobrio è nato come controesempio in questa discussione

[j18eos]

Scusa per i commenti fuori luogo: perché sarebbe un obbrobbio? Già vedo un paio di passi obbligatori per nulla facili per risolverlo.

Inoltre per indicare l'insieme dei numeri naturali con \( \displaystyle 0 \) escluso ci sono vari simboli standard quali \( \displaystyle \mathbb{N} \) , \( \displaystyle \mathbb{N}_1 \) , \( \displaystyle \mathbb{N}^\# \) (il mio preferito tra i "complicati"), \( \displaystyle \mathbb{N}^+ \) e \( \displaystyle \mathbb{N}^* \) (questi ultimi due non mi piacciono).

[Mathematico]

E' un obbrobrio perchè è una cosa molto controintuitiva. Se ci fai caso la somma non dipende \( \displaystyle \alpha \) ... .
La notazione dei numeri naturali a cui va escluso lo zero non è standard , questa che ho utilizzato la consigliava Fioravante Patrone qualche tempo fa, e visto che è funzionale l'ho adottata .

[j18eos]

C'ho fatto caso ad \( \displaystyle \alpha \) ed ho già un'idea per sistemarlo senza usare dei cannoni.
Poi ho un'idea per dimostrare la convergenza ; ma non ho idea di come dimostrare la convergenza a \( \displaystyle \log2 \) .
Poi ho parlato di vari simboli standard, questo di Fioravante Patrone mi è nuovo; lo terrò a mente, mica lo si butta.

Comunque devo ancora finire qui!

[Mathematico]

Non ti preoccupare! Hai tutto il tempo... (sembra più una minaccia che un invito )

[j18eos]

Certo! Ognuno posta la sua soluzione, io mi limiterò ad alcune parti.

Il troppo storpia!

[gugo82]

Soluzione breve, ma difficile, per \( \displaystyle \alpha =1 \) .

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Ricordo che la funzione definita ponendo:

\( \displaystyle \psi (z) :=\frac{\Gamma^\prime (z)}{\Gamma (z)} \) ,

che è la derivata logaritmica della \( \displaystyle \Gamma \) , si chiama funzione digamma e gode della seguente proprietà di ricorrenza:

(*) \( \displaystyle \psi (1+z) =\psi (z) +\frac{1}{z} \) .

Applicando la (*) \( \displaystyle n \) volte si riconosce che:

\( \displaystyle \psi (n+z) =\psi (z) +\sum_{k=1}^n \frac{1}{z+k-1} \) ,

dalla quale, facendo \( \displaystyle z=n+1 \) , si ricava immediatamente:

\( \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} =\psi (1+2n) -\psi (1+n) \) .

Ne viene che basta calcolare il \( \displaystyle \lim_n \psi (1+2n) -\psi (1+n) \) per ottenere il risultato; ma la formula (1) in questo articolo implica che:

\( \displaystyle \psi (z) \approx \ln z -\frac{1}{2z} +\text{o} \left( \frac{1}{z}\right) \)

per \( \displaystyle z \) reale e \( \displaystyle z\to +\infty \) , cosicché:

\( \displaystyle \lim_n \psi (1+2n) -\psi (1+n) = \lim_n \ln \frac{1+2n}{1+n} -\frac{1}{2(1+2n)} +\frac{1}{1+n} +\text{o} \left( \frac{1}{n}\right) =\ln 2 \) ,

come volevamo. \( \displaystyle \square \)

Tuttavia la soluzione proposta funziona per ogni \( \displaystyle \alpha \in \mathbb{N} \setminus \{ 0\} \) : per provarlo basta usare la ricorrenza (*) a dovere.

[Rigel]

Soluzione breve ma facile...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Detta $S_k$ la somma ad argomento del limite, abbiamo che
$\int_{\alpha}^k \frac{1}{x+k} dx \le S_k \le \int_{\alpha}^k \frac{1}{x+k-1} dx$, vale a dire
$\log\frac{2k-1}{k+\alpha-1} \le S_k \le \log\frac{2k}{k+\alpha}$.
Di conseguenza $\lim_k S_k = \log(2)$ per il criterio del confronto.

[gugo82]

@Rigel: Ottimo... Sentivo di aver usato un cannone laddove bastava la paletta per le mosche.

[Rigel]

eh eh, il vantaggio di non conoscere le cose difficili è che non ti viene in mente di usarle