Innanzi tutto consiglio una lettura di questo post, per le generalità sugli ultrafiltri. Per trattare l'argomento nella sua generalità e con pieno rigore sarebbe opportuno avere un'infarinatura di teoria dei modelli. Il teorema principale che si ottiene in questo contesto è il teorema di Los. Procedendo per questa via si arriva a dimostrare il celebre teorema di compattezza della logica matematica.
Sia \( \displaystyle \mathcal L \) un linguaggio, sia \( \displaystyle \{M_i\}_{i \in I} \) una famiglia di strutture di segnatura \( \displaystyle \mathcal L \) . Definiamo \( \displaystyle \prod_{i \in I} M_i \) nella maniera usuale, definendo le interpretazioni dei simboli di funzione e dei simboli di relazione per componenti. Se \( \displaystyle \varphi \) è una formula del prim'ordine è in generale falso che \( \displaystyle \prod_{i \in I} M_i \vDash \varphi \iff M_i \vDash \varphi \) per ogni \( \displaystyle i \in I \) (questa proprietà è soddisfatta da un'ampia classe di formule, dette formule di Horn).
Se \( \displaystyle \mathcal F \) è un ultrafiltro su \( \displaystyle I \) , introduciamo in \( \displaystyle M = \prod_{i \in I} M_i \) la relazione \( \displaystyle \sim \) definita ponendo \( \displaystyle (a_i) \sim (b_i) \iff \{i \in I \mid a_i = b_i \} \in \mathcal F \) .
Esercizio facile, noioso ed utile. La relazione \( \displaystyle \sim \) è una relazione di equivalenza. Inoltre se \( \displaystyle f \in \mathcal L \) è un simbolo di funzione, allora \( \displaystyle f^M \) passa al quoziente. Esplicitamente, se l'arietà di \( \displaystyle f \) è \( \displaystyle n \) e \( \displaystyle (a_i^{(1)}) \sim (b_i^{(1)}) \) , ..., \( \displaystyle (a_i^{(n)}) \sim (b_i^{(n)}) \) , allora \( \displaystyle f^M((a_i^{(1)}), \ldots, (a_i^{(n)})) \sim f^M((b_i^{(1)}), \ldots (b_i^{(n)})) \) . Analogamente se \( \displaystyle \sigma \in \mathcal L \) è un simbolo di relazione, allora \( \displaystyle \sigma^M \) passa al quoziente.
Denotiamo con \( \displaystyle M_\mathcal{F} \) il quoziente \( \displaystyle M / \sim \) . Rendiamo \( \displaystyle M_\mathcal{F} \) una struttura di segnatura \( \displaystyle \mathcal L \) definendo le interpretazioni delle funzioni e delle relazioni semplicemente per passaggio al quoziente (l'esercizio precedente fa sì che tutto sia ben definito).
Il teorema di Los assicura che se \( \displaystyle \varphi \) è una formula del prim'ordine in \( \displaystyle \mathcal L \) , allora \( \displaystyle M_\mathcal{F} \vDash \varphi^M \iff \{i \in I \mid M_i \vDash \varphi^{M_i} \} \in \mathcal F \) . Assumendo questo teorema, tutti i lettori dovrebbero essere in grado di cimentarsi con gli esercizi seguenti.
Vi propongo adesso alcuni esercizi, rispettivamente in: pseudo-analisi, teoria dei gruppi, teoria dei campi.
Esercizio 1. Sia \( \displaystyle \mathcal F \) un ultrafiltro su \( \displaystyle \mathbb N \) e sia \( \displaystyle f : \mathbb N \to \mathbb R \) una qualsiasi successione di numeri reali. Diciamo che \( \displaystyle l \in \overline{\mathbb R} \) è un limite di \( \displaystyle f \) rispetto a \( \displaystyle \mathcal F \) e scriviamo \( \displaystyle \lim_{\mathcal F} f = l \) se per ogni intorno aperto \( \displaystyle U \) di \( \displaystyle l \) esiste \( \displaystyle S \in \mathcal F \) tale che \( \displaystyle f(S) \subset U \) .
Si dimostri che per ogni ultrafiltro \( \displaystyle \mathcal F \) ed ogni successione di numeri reali \( \displaystyle f : \mathbb N \to \mathbb R \) esiste un unico \( \displaystyle l \in \overline{ \mathbb R} \) tale che \( \displaystyle \lim_{\mathcal F} f = l \) .
Naturalmente, con \( \displaystyle \overline{ \mathbb R } \) denoto il completamento di \( \displaystyle \mathbb R \) , ossia \( \displaystyle \mathbb R \cup \{\pm \infty\} \) , dotato dell'usuale struttura d'ordine e topologia a cui siamo tutti abituati sin dalla culla.
Esercizio 2. Per ogni ultrafiltro \( \displaystyle \mathcal F \) su \( \displaystyle \mathbb N \) denotiamo con \( \displaystyle G_\mathcal{F} \) il gruppo \( \displaystyle \left( \prod_{n \in \mathbb N} \mathbb Z / n \mathbb Z \right) / \mathcal F \) . Provare che è possibile scegliere \( \displaystyle \mathcal F \) in modo che \( \displaystyle G_\mathcal{F} \) :
- 1. sia senza torsione;
2. abbia elementi di torsione;
3. sia un gruppo divisibile;
4. contenga un elemento che non è divisibile per nessun numero \( \displaystyle n > 1 \) .
Esercizio 3. Scelto un ultrafiltro \( \displaystyle \mathcal F \) sull'insieme \( \displaystyle \mathbb P \) dei numeri primi, denotiamo con \( \displaystyle K_\mathcal{F} \) l'ultraprodotto \( \displaystyle \left( \prod_{p \in \mathbb P} \mathbb F_p \right) / \mathcal F \) , dove \( \displaystyle \mathbb F_p \) denota il campo con \( \displaystyle p \) elementi.
- 1. Provare che per ogni ultrafiltro non principale \( \displaystyle \mathcal F \) la caratteristica di \( \displaystyle K_\mathcal{F} \) è 0;
2. provare o confutare che per ogni estensione algebrica \( \displaystyle K \) di \( \displaystyle \mathbb Q \) esiste un ultrafiltro \( \displaystyle \mathcal F \) su \( \displaystyle \mathbb P \) tale che il sottocampo \( \displaystyle E = \{x \in K_{\mathcal F} \mid x \text{ è algebrico sul campo primo } \mathbb Q\} \) sia isomorfo a \( \displaystyle K \) .
Effettivamente la sua domanda era divisa in due parti nel testo a cui lui sta facendo riferimento. In particolare in generale c'è n'è al più una e se è un ultrafiltro e la funzione è limitata allora c'è n'è uno.
(E' una dimostrazione standard, la lascio a qualcun altro)