Cifre che crescono

[axpgn]

Quanti sono gli interi positivi tali che le cifre da cui sono formati aumentino letti da sinistra a destra?
Es. $19, 357, 2589$

Quanti sono i quadrati perfetti tali che le cifre da cui sono formati non diminuiscano lette da sinistra a destra?
Es. $12^2=144, 13^2=169, 83^2=6889$


Cordialmente, Alex

[Mathita]

Propongo una soluzione per il primo quesito.

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Sia $N={1,2,...,9} $ l'insieme delle cifre da 1 a 9. Possiamo interpretare un intero positivo di $1\le k\le 9$ cifre distinte come un sottoinsieme di cardinalità $k$ di $N$, composto da $k$ elementi distinti. Per esempio al numero 123 associamo l'insieme ${1,2,3}$ e viceversa.

Il numero di sottoinsieme di $N$ di ordine $k$ è dato da $9Ck$: ciò vuol dire che $9Ck$ è il numero di interi positivi con $k$ cifre distinte e strettamente crescenti.

Questa cosa andrebbe dimostrata: l'idea è che, dato un insieme di elementi distinti, è sempre possibile riscriverlo ordinando i suoi elementi dal più piccolo al più grande.

Si può dimostrare che la mappa che associa a un sottoinsieme di elementi distinti e ordinati di N il numero intero di k cifre strettamente crescenti è una biezione, garantendo l'uguaglianza tra il numero di sottoinsiemi di cardinalità k e il numero di interi positivi di k cifre strettamente crescenti.

Riassumendo: il numero di interi positivi a k cifre strettamente crescenti è $9Ck$ con $k\in N$. Sommando $9Ck$ per k da 1 a 9, otteniamo il numero richiesto:

$\sum_{k=1}^{9}9Ck=2^9-1=511$

Per il secondo non ho ancora trovato una formalizzazione tale da risolverlo. :/

[axpgn]

Perfetto! Anch'io l'ho pensata cosí

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Non c'è simmetria però, da destra a sinistra sono il doppio

Cordialmente, Alex

[Mathita]

Non c'è simmetria però...

Vero! Non c'è simmetria per via dello zero alle unità! Epperò, ancora non ho una soluzione per il quesito 2.

[giammaria]

Anche io non ho soluzione per il quesito 2; la risposta che davo al primo differisce leggermente da quella di Mathita.

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Ammettendo che con la scritta $9Ck$ si intenda quello che io indico con $C_(9,k)$, escluderei anche $k=1$ perché con una sola cifra il verbo "aumentare" perde significato. La mia risposta è quindi $2^9-1-9=502$.

[Mathita]

Aaargh, maledetta semantica!

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Come mi arrampico sugli specchi? Mmm, posso dire che la funzione identità da un singleton a sé stesso è strettamente crescente? I.E. $Id:{k}\to {k}$ è una funzione strettamente crescente? Mi verrebbe da dire di sì perché è una verità vuota.

[axpgn]

Io la penso come te (e anche l'autore del problema )
Sono quelle verità "vacue" che piacciono tanto ai matematici

[Mathita]

Mi ero ripromesso di occuparmi del secondo quesito oggi, ma, causa imprevisti, non sono riuscito a concludere nulla. La strategia che avevo in mente non funziona (o meglio, non sono riuscito a farla funzionare). La riporto in spoiler.

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Molto semplicemente scrivo l'espansione polinomiale di un generico numero naturale di n cifre, la elevo al quadrato e ricavo i coefficienti di $10^k$ per k da 0 a 2n. Fatto questo, avrei voluto usare la condizione imposta dal quesito: il coefficiente di $10^k$ deve essere minore o uguale a quello di $10^{k-1}$, per ogni k. I calcoli, sinceramente bruttini, non hanno prodotto il risultato sperato.

[dan95]

Propongo un idea un po' "calcolosa" per il secondo

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...

[Mathita]

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Claim: la risposta al quesito 2 è infinito numerabile.