Mi inserisco a conversazione inoltrata (forse finita) ma penso di poter aggiungere qualcosa.
Dal mio punto di vista non c'è alcun buco espositivo.
Tu hai \( X \) che è uno spazio vettoriale normato e quindi dotato, grazie alla norma, di una topologia (la cosiddetta topologia forte) che chiamiamo \( \tau \). Ora sai identificare le mappe da \( (X, \tau) \) in \( \mathbb{R} \) che sono continue. Chiamiamo la loro collezione \( X' \).
Ora puoi considerare una nuova topologia su \( X \) che è la meno fine (quella con meno aperti) che rende continui tutti gli elementi di \( X'\). Questa è una definizione ben posta (controlla, se vuoi) e quindi possiamo chiamare questa nuova topologia "topologia debole" e denotarla con \( \sigma \).
1Adesso \( (X, \sigma) \) è un dignitoso spazio topologico e, presa una rete \( (x_{\lambda})_{\lambda} \subset X \), sai quindi cosa significa che essa converge ad un qualche punto \( x_0 \in X \) nella topologia \( \sigma \). Ora, avendo chiamato questa topologia "topologia debole", mi pare che sia del tutto naturale (e comprensibile) dire che una rete che converge nella topologia debole
converge debolmente.Quindi, a rigore, hai la definizione di convergenza debole semplicemente perché sai cosa vuol dire che una rete converge nella topologia debole.
E dunque la proposizione che citavi è proprio una proposizione. Poi, come tutte le equivalenze, può essere presa come definizione. Mi pare però che introdurre la topologia come ho fatto qua (e come mi sembra che ti sia stato fatto a lezione) e usare poi quella caratterizzazione come proposizione, sia più pulito.
Poi, come mi sembra hai accennato, il fatto chiave per mostrare quell'equivalenza è che, dato un punto \( x_0 \in X \), un sistema fondamentale di intorni di \( x_0 \) in \( (X, \sigma) \) è dato da insiemi del tipo
\[ \bigcap_{i=1}^N \left \{ x \in X \mid |f_i(x)-f_i(x_0) | < \epsilon \right \} \]
al variare di \( \epsilon >0 \), \( \{ f_1, \dots, f_N \} \subset X' \) e \( N \in \mathbb{N}_0 \). Da qui mi pare immediato vedere che
Data una rete \( (x_{\lambda})_{\lambda \in \mathbb{L}} \) essa converge debolmente a \( x_0 \in X \) se e solo se la rete di numeri reali \( (f(x_{\lambda}))_{\lambda \in \mathbb{L}} \) converge a \( f(x_0) \) per ogni \( f \in X'\).
"Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi." (Hilbert)