Prima di fornire la soluzione al problema originario posto da Empty Head direi che prima è opportuno dare qualche definizione. Al pari di quanto avviene nel campo dei numeri interi un generico polinomio p(x) diviso per un polinomio f(x) fornisce un ‘quoziente’ q(x) e un ‘resto’ r(x), ovvero è…
p(x)= q(x)*f(x) + r(x) (1)
Analogamente a quanto avviene per i numeri interi, dalla (1) è possibile definire…
r(x) = p(x) mod [f(x)] (2)
… ossia r(x) è uguale a ‘p(x) modulo f(x)’. E’ possibile dimostrare che l’insieme dei polinomi ‘modulo f(x)’ costituiscono un campo moltiplicativo e f(x) è chiamato ‘polinomio generatore del campo’. Come in tutti i campi moltiplicativi ad ogni elemento del campo [escluso l’elemento nullo ] corrisponde un ‘inverso’ , ossia quell’elemento che moltiplicato per esso fornisce l’elemento ‘unitario’. Nel nostro caso se p(x) è un elemento del campo, il suo inverso i(x) sarà tale per cui…
p(x)*i(x)= 1 mod [f(x)] (3)
Se f(x) è un polinomio di grado n, tutti i polinomi ‘modulo f(x)’ saranno di grado inferiore o uguale a n-1…
Veniamo ora al problema posto da Empty Head. Il polinomio generatore del campo è f(x) = x^2+x+1 e il polinomio di cui si richiede l’inverso è p(x)=x. Indicando il polinomio inverso [di grado unitario in questo caso…] con i(x)= a1x+ao per la (1) si ha…
x*(a1x+ao)/(x^2+x+1) = (a1 x^2+ao x)/(x^2+x+1)=
a1+r(x)/(x^2+x+1) = a1+1/(x^2+x+1) (4)
Operando sulla (4) ed eguagliando i coefficienti dello stesso grado si ottiene il sistema di due equazioni in due incognite…
ao=a1
a1+1=0 (5)
… che risolto fornisce ao=-1 e a1=-1. Il polinomio cercato, l’inverso di x, è dunque i(x) = -x-1. L’altro esempio, quello ‘inventato’ da Empty Head, è un poco più difficile e lo lascio come esercizio per i ‘volonterosi’…
cordiali saluti
lupo grigio