da Valerio Capraro » 17/09/2005, 15:51
SECONDO ESERCIZIO
-puoi verificare da solo che l'insieme definito è un sottogruppo di quello di partenza, che prende il nome di centralizzante dell'elemento a; sempre dal teorema di lagrange si deduce che esso ha cardinalità che divide 24 (essendo 24=4! l'ordine di S4); i divisori di S4 sono 1,2,3,4,6,8,12,24; occorre escludere 1 banalmente e 24 perchè altrimenti il centralizzante C(a) dell'elemento a coinciderebbe con S4, ma S4 non è commutativo, mentre lo è C(a) per definizione. Ora, ricordando che coppie di trasposizioni (cicli di due elementi) disgiunte (che non permutano lo stesso elemento) commutano ne segue che anche (34) appartiene a C(a), e quindi anche (12)(34). Si verifica ora con un po di conti che nessun altro elemento di S4 commuta con (12), ne segue che C(a)={(1),(12),(34),(12)(34)}, in cui ci si riconosce il gruppo di klein.
ciao, ubermensch