Per ogni intero non negativo \( \displaystyle n \) indichiamo con \( \displaystyle \mathcal{G}_n \) l'insieme dei gruppi con esattamente \( \displaystyle n \) sottogruppi propri non banali. Per esempio \( \displaystyle \mathcal{G}_0 \) consiste dei gruppi ciclici di ordine primo. Indichiamo con \( \displaystyle \mathcal{G}_n^{\ast} \) l'insieme dei gruppi non ciclici in \( \displaystyle \mathcal{G}_n \) (sembra una costruzione artificiale, ma non credo che lo sia). Mi sono venute in mente un po' di domande.
1. Cosa possiamo dire di \( \displaystyle \mathcal{G}_n \) quando \( \displaystyle n \) è piccolo? Per esempio cosa possiamo dire di \( \displaystyle \mathcal{G}_1 \) , \( \displaystyle \mathcal{G}_2 \) , \( \displaystyle \mathcal{G}_3 \) , \( \displaystyle \mathcal{G}_4 \) ?
2. E' vero che ogni \( \displaystyle \mathcal{G}_n \) consiste di gruppi finiti?
3. E' vero che ogni \( \displaystyle \mathcal{G}_n^{\ast} \) è finito?
4. Esistono degli \( \displaystyle n \) per cui \( \displaystyle \mathcal{G}_n^{\ast}=\emptyset \) ?
Questa cosa mi è venuta in mente qui.
Ho corretto.