Ciao a tutti, sto frequentando il corso di modelli matematici e fisici e mi sono imbattuto in questo problema che fatico a risolvere, riporto la traccia e di seguito la mia strategia di risoluzione.
Problema:
Si consideri il problema variazionale $ \min_{A}F_{\lambda} $, dove il funzionle $F_{\lambda}$ e l'insieme delle funzioni ammissibili $A$ sono definiti come segue :
$ F_{\lambda}[u]=\int_{0}^{1}[(1+u^{2})u'^{2}+\lambda \cos(u) ]dx $ , $A={u\in W^{1,2}(0,1): u(0)=u(1)=0}$
Determinare il valore critico $\lambda_{cr}$ del parametro reale non negativo $\lambda$ al quale un minimante non nullo $u_{\lambda}$ biforca da $u_{0}\equiv 0$
Tentativo di risoluzione:
Come primo passo vado a definire attraverso l'equazione di Eulero-Lagrange una condizione da soddisfare affinché una funzione generica $u\in A$ sia minimante del funzionale. In altre parole proseguo con lo sviluppo della seguente equazione differenziale :
$\frac{\d }{\dx}\frac{\partial f }{\partial u'}-\frac{\partial f }{\partial u}=0$ dove $f=(1+u^{2})u'^{2}+\lambda \cos(u)$
ottenendo :
$2u''(1+u^{2})+2u(u')^{2}+\lambda \sin(u)=0$
Quindi tutte le soluzioni di tale equazione differenziale(dipendenti dal parametro \lambda) con le condizioni al contorno " $u(0)=u(1)=0$ " sono un minimante del funzionale.
Mi sono concentrato a questo punto sulla seconda parte della richiesta ossia quella della presenza della biforcazione.
Sono quindi passato dall'equazione differenziale del secondo ordine non lineare in un sistema di 2 equazioni del primo ordine attraverso la relazione :
${ ( u'=y ),( y'=-(u)/(1+u^{2})y^{2}-\lambda/(2(1+u^{2}))\sin(u)):}$
che ci porta alla definizione dei punti di equilibrio nel piano delle fasi:
${ ( y=0 ),( u=0+k\pi):}$
Arrivato qui non so più come proseguire o meglio ho tentato di linearizzare il sistema intorno al punto stabile (0,0) ho scritto lo Jacobiano e ho visto per quale $\lambda$ ho una modifica nella parte reale del segno degli autovalori . Tuttavia proseguendo in tale modo arrivo a dire che $\lambda_{cr}=0$ e non sono convinto di tale risultato.
volevo quindi chiedere se qualcuno riesce a risolvere tale problema e riesce a spiegarmi bene cosa significa la richiesta del problema ossia il significato di "$u_{\lambda}$ biforca da $u_{0}\equiv 0$"
Grazie a tutti