Consideriamo una trasformazione lineare di coordinate , da $x^\alpha$ a $y^\bar\mu$ , cioè , le nuove coordinate $y$ sono funzioni lineari delle vecchie $x$ :
$y^\bar\mu = y^\bar\mu(x^\alpha)$
Come vedi, segno gli indici delle nuove coordinate con una barra in testa, anziché con l'apice, per motivi di comprensione grafica . Dato un vettore $V = V^\alpha e_\alpha$ nelle vecchie coordinate , la sua derivata covariante è :
$ V^\alpha;_\beta = V^\alpha,_\beta + Gamma_(\rho\beta)^\alpha * V^\rho$
lo stesso vettore, espresso nelle nuove coordinate , è : $V = V^\bar\mu e_\bar\mu$
e quindi la sua derivata covariante nelle nuove coordinate vale :
$ V^\bar\mu;_\bar\nu = V^\bar\mu,_\bar\nu + Gamma_(bar\sigma\bar\nu)^\bar\mu * V^\bar\sigma$ .
Adesso, trattiamo la derivata covariante come un tensore misto di tipo $(1,1)$ . Perciò deve essere :
$ V^\bar\mu;_\bar\nu = V^\alpha;_\beta* (\del y^\bar\mu)/(delx^\alpha) * (delx^\beta)/(dely^\bar\nu) $
Adesso però continuo su un foglio scritto a mano , perché non è agevole scrivere questa roba al computer . E adotto anche una semplificazione, per risparmiare scrittura : anziché scrivere , ad esempio :
$ (\del y^\bar\mu)/(delx^\alpha)$
scriverò semplicemente : $(\del \bar\mu)/(del\alpha)$ , e analoghe . Si intende che la barra sopra l'indice indica che si sta derivando rispetto alla coordinata $y$ avente quell'indice. La mancanza della barra significa che si sta derivando rispetto alla coordinata $x$ avente quell'indice.
Ecco allora i fogli scritti a mano :
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Come vedi, se la trasformazione dei $Gamma$ fosse tensoriale , ci sarebbe solo il primo termine a secondo membro , quello con la derivata seconda sarebbe nullo .
I tuoi calcoli sono giusti .
We look for patterns when we are hungry or threatened, rather than bored. I don't think we needed to think about things when we were in standby mode in the ancient past.