Recentemente mi sono interessato un po' alle algebre di Boole (BA) e mi è sorta qualche domanda su esse (e su argomenti correlati), ma essendo tante non mi sembra una buona idea né metterle tutte in post diverse, né tutte nello stesso così vi chiedo delle referenze per le varie domanda che mi interessano (chiaramente se mi rispondete direttamente lo apprezzo maggiormente).
1) Come si fa a dimostrare che una BA completa e atomica è isomorfa a $P(X)EEX$?
2) Come si dimostra che una BA infinita ha una anticatena infinita?
3) Su ogni insieme infinito può essere messa una struttura di BA?
4) Perché (tenendo presente la rappresentazione di Stone per le BA) una BA è completa sse il suo spazio degli ideali primi è estremamente sconnesso?
5) Dove posso studiare il teorema di rappresentazione per le BA complete (cioè una BA completa è isomorfa all'algebra degli aperti regolari di uno spazio topologico $T_2$)? Se può essere utile la rappresentazione "classica" l'ho studiata del Davey & Priestley e mi ci sono trovato bene.
6) Ho trovato questo e le risposte non le ho capite, ma mi sono chiesto, come è possibile che una BA COMPLETA non sia isomorfa a nessuna $\sigma$-algebra? Io avevo pensato che essendo isomorfa a una sottoalgebra di $P(X)EEX$ ed essendo completa dovesse necessariamente essere chiusa anche per unioni e intersezioni numerabili.
7) Esiste un reticolo con massimo e minimo tale che ogni elemento abbia un unico complemento ma non sia un reticolo Booleano (cioè non è distributivo)?
Io sfogliando un pò in rete ho trovato questo, mi chiedevo se lo conoscete e cosa ne pensate, soprattutto se può essere utile a rispondere a queste domande (la mia impressione è che magari affronti questi argomenti da un punto di vista un po' diverso).