Ciao! Sia \( S \) un insieme non vuoto e non superiormente limitato in \( \mathbb{R} \). Voglio assicurarmi che \( \sup_{\widetilde{\mathbb{R}}} S = +\infty \) disponendo di una definizione dei reali estesi \( \widetilde{\mathbb{R}} \).
Premessa: Considero l'insieme dei reali estesi \( \widetilde{\mathbb{R}} \) come l'insieme \( \mathbb{R} \) a cui vengono aggiunti i due simboli \( -\infty \) e \( +\infty \) tali che per ogni elemento \( x\in\mathbb{R} \) è \( x\neq\pm\infty \), oltre ad un ordinamento totale \( \leqq \) che \( -\infty\leqq x\leqq+\infty \).
Dove non indicato esplicitamente, la relazione d'ordine che compare \( {\leqq} \) è quella del poset dei reali estesi. Una cosa ovviamente importate in seguito è che, detta \( \leqq_{\mathbb{R}} \) la relazione d'ordine canonica sui reali, e dati \( x \), \( y \) reali, \( (x,y)\in{\leqq} \) sse \( (x,y)\in{\leqq_{\mathbb{R}}} \).
Da questa (buona?) definizione discende ovviamente l'unicità di cose con la proprietà di \( \pm\infty \): \( \widetilde{\mathbb{R}} \) è un poset di cui i due simboli sono rispettivamente il minimo ed il massimo.
Proposizione: Sia \( \emptyset\neq S\subset\mathbb{R} \); \( S \) non limitato superiormente in \( \mathbb{R} \) (l'insieme dei maggioranti reali di \( S \), \( S_{\mathbb{R}}^{*} \), è vuoto); allora \( S_{\widetilde{\mathbb{R}}}^{*} \) insieme dei maggioranti di \( S \) nei reali estesi è \( \{+\infty\} \).
Dimostrazione Che sia \( +\infty \) maggiorante di \( S \) è ovvio. Sia \( m\in\widetilde{\mathbb{R}} \) un maggiorante di \( S \) nei reali estesi, e sia \( x\in\mathbb{R} \). Se \( x\in S \), allora per def. di maggiorante è \( x\leqq m \). Consideriamo quindi \( x\in\mathbb{R}\setminus S \); dico che ancora \( x\leqq m \). Infatti, se fosse \( x\not\leqq m \) (ossia \( m < x \) perché \( {\leqq} \) è totale), questo \( x\in\mathbb{R} \) sarebbe un maggiorante di \( S \) nei reali estesi, cosa evidentemente assurda (per def. di \( {\leqq} \)). Allora è \( m=+\infty \) perché \( m\in\widetilde{\mathbb{R}} \), dove vi è una relazione d'ordine antisimmetrica.
È accettabile? Si può migliorare?
EDIT: Corretto l'errore di battitura nella dimostrazione (parte incriminata in grassetto), notato dopo l'intervento di @fmnq