risoluzione limite con taylor

[lepre561]

$lim_(xto0+) (1-cos^3x)((arcsin^2x+x^2cos^2x))/((x^2-2sinx+2x)xsinx)$

$lim_(xto0+) (1-cos^3x)(arcsin^2x+x^2cos^2x)/((x^2-2sinx*x/x+2x)xsinx*x/x)$

$lim_(xto0+) (1-cos^3x)((arcsin^2x+x^2cos^2x))/((x^4)$

Ora applico gli sviluppi di taylor agli altri argomenti in particolare

$cos^3x=(1-(x^2/2))^3+o(x^5)$
$arcsin^2x=x^2+o(x^4)$
$cos^2x=(1-(x^2/2))^2+o(x^5)$

Sostituendo allinterno del limite ottenngo
$lim_(xto0+) (3/2x^2)((x^2+x^2(1-x^2))/((x^4)$

$lim_(xto0+) (3x^4)/((x^4))=3$ possibile o c'è qualche errore?

[pilloeffe]

Ciao lepre561,

possibile o c'è qualche errore?

Il risultato è quello, infatti posto $f(x) := (1-cos^3x)((arcsin^2x+x^2cos^2x))/((x^2-2sinx+2x)xsinx) $ si ha:

$\lim_{x \to 0^{pm}} f(x) = 3 $

Il metodo però è errato: non puoi passare al limite solo per ciò che ti fa comodo, quando si passa al limite si passa al limite...
Potresti più facilmente risolverlo considerando che si ha:

$cos^2 x = 1 - sin^2 x \implies sin^2 x = 1 - cos^2 x = (1 - cos x)(1 + cos x) $
$1 - cos^3 x = 1^3 - cos^3 x = (1 - cos x)(1 + cosx + cos^2 x) $

[lepre561]

ma il procedimento è errato dall'inizio?