mklplo ha scritto:Allora, per quanto riguarda la prima, se \(\Gamma\) fosse infinito anche \(V\) dovrebbe esserlo, giusto?
Dovrebbe essere
di dimensione infinita.
Inoltre sempre per la prima in pratica devo dimostrare che esiste una base, e proprio dalla seconda poi deduco che non esistono moduli liberi
Per fortuna non ti ho chiesto di dimostrare che "non esistono moduli liberi" (cosa che tra l'altro sarebbe falsa, potresti dimostrarla solo assumendo qualcosa di falso). Quello che ti ho chiesto di dimostrare è che non esiste nessun insieme \(\Gamma\) tale che \(R/I\) sia isomorfo a \(R^{(\Gamma)} = \bigoplus_{\gamma\in\Gamma}R\) (questo insieme, lo ricordo, si ottiene prendendo le sequenze \((r_\gamma\mid \gamma\in\Gamma)\) tali che \(r_\gamma \neq 0_R\) per al più un numero finito di indici \(\gamma\). Si chiama la
somma diretta di \(|\Gamma|\) copie di \(R\)).
la terza cosa ne è un esempio, giusto?
La terza cosa è un esempio, il più semplice che mi viene in mente, di uno \(\mathbb Z\)-modulo che non può essere libero; un tale \(\mathbb Z\)-modulo deve per forza essere un insieme infinito (perché tale è \(\mathbb Z\)), laddove invece \(\mathbb Z/n\mathbb Z\) ha solo \(n <\infty\) elementi.
Nella seconda almeno, il l'interpretazione di \(R/I\) come \(R\)-modulo è corretta?
Viste le lacune che stai dimostrando, non sarei sicuro che tu abbia fatto "seguire facilmente" gli assiomi di \(R\)-modulo da ragionamenti ovvi. Quindi, non posso saperlo.
Inoltre, perché è sbagliata?
Questa frase non significa nulla: "Per quanto riguarda la dimostrazione, pensavo di provare la "contropositiva" e quindi mi basta trovare un insieme che renda \( R^{(\Gamma)} \) isomorfo a al quoziente tra \( R \) e i suoi ideali banali. Per fare questo penso che basta prendere \( \Gamma=\emptyset \) e \( \Gamma={\emptyset} \), giusto?"
Il motivo per cui non stai capendo quello che ti ho chiesto di fare è che ti mancano dei prerequisiti e una certa maturità matematica. Acquisiscile, e poi torna a studiare teoria dei moduli.