Salve a tutti ho a che fare con un semplice esercizio di analisi complessa e ho un dubbio e volevo sapere se il mio modo di risolvere il problema fosse teoricamente valido, so già anche io che il mio metodo è stupido perché inutilmente complesso ma volevo capire se fosse valido teoricamente per solo una questione di curiosità.
Questo è il mio esercizio come credo che debba essere risolto in maniera praticamente più semplice poi dopo metto l'altro:
$ int_(|z+4|=4pi) tan(z) dz $
Quindi studio il dominio e faccio la norma euclidea:
$ root()((x+pi)^(2)+(y)^(2))=4pi; $ $ root()(x^(2)+2xpi+pi^(2)+y^(2))=4pi;$ $ x^(2)+2xpi +y^(2)=15pi^(2);$
Quindi ottengo una circonferenza di centro e raggio: $ C=(-pi,0) $ e $ r=4pi $
So che $ tan(z) $ lo posso scrivere come $ (sen(z))/(cos(z)) $ ho che $ cos(z) $ avrà poli in $ (pi/2) +kpi $
Quindi ho che ha poli semplici: per $ k=0rArr pi/2 $ interno alla circonferenza $ k=1rArr (3pi)/2 $ interno alla circonferenza $ k=2rArr (5pi)/2 $ interno alla circonferenza $ k=-3rArr (7pi)/2 $ esterno alla circonferenza $ k=-1rArr -(pi)/2 $ interno alla circonferenza $ k=-2rArr -(3pi)/2 $ interno alla circonferenza $ k=-3rArr -(5pi)/2 $ interno alla circonferenza $ k=-4rArr -(7pi)/2 $ interno alla circonferenza $ k=-6rArr -(9pi)/2 $ esterno alla circonferenza.
Quindi in definitiva ho da considerare solo i poli interni alla circonferenza che sono 7 e lo studio dei poli consisterà pressoché nel cambiare variabili:
$ Res(f,pi/2)= lim_(z -> pi/2) (sen(z))/cos(z)(z-(pi)/2) $ Applico de hopital e mi viene:
$ lim_(z -> pi/2) (cos(z)(z-(pi)/2)+sin(z))/-sin(z)=(cos(pi/2)(pi/2-(pi)/4)+sin(pi/2))/-sin(pi/2)=1 $
quindi gli altri saranno simili e cambierà solo il segno del risultato finale del limite:
$ Res(f,(3pi)/2)= -1 $
$ Res(f,(5pi)/2)= 1 $
$ Res(f,-pi/2)= 1 $
$ Res(f,-(3pi)/2)= 1 $
$ Res(f,-(5pi)/2)= -1 $
$ Res(f,-(7pi)/2)= 1 $
Quindi in definitiva avrò $ int_(|z+4|=4pi) tan(z) dz = 2pij(-1+1-1-1+1-1+1)=-2pij $
Questo metodo è nato perchè e non so il motivo ho pensato che $ sen(z) $ non fosse una singolarità eliminabile ma una essenziale e ho cercato in modi impossibile di risolvere un residuo all'infinito. Dopo qualche ora ho capito il mio errore e ho reagito così:
https://www.youtube.com/watch?v=FXLfpwFeNTU
Mentre cercavo di risolvere il residuo all'infinito ho pensato a questo metodo e vi chiedo so che pragmaticamente è inutilmente complesso ma sarebbe valido teoricamente? Facendo il calcolo dei residui mi trovo ma ho difficoltà con il dominio chiamerò al momento il mio dominio D poi alla fine vedrete se il mio ragionamento sul dominio è lecito.
Faccio una sostituzione da una variabile complessa ad una variabile complessa e modifico così il mio integrale:
$ int_(|z+4|=4pi) tan(z) dz $
$ tanz=cosz/(senz)rArr { ( cosz=(e^(jz)+e^(-jz))/2 ),( senz=(e^(jz)-e^(-jz))/(2j) ):}rArre^(jz)=trArrdt=je^(jz)dzrArrdz=dt/(jt) $
Quindi ottengo che:
$ int_(D) tan(z) dz =int_(D) (t-(1/t))/(2j)2/(t+(t/2)) (dt)/(tj) = int_(D) (t-t^(2))/(tj)t/(t+t^(2)) (dt)/(tj) = int_(D) (t(1-t))/(t^(2)(t+1) )dt= int_(D) (1-t)/(t(t+1)) dt $
Quindi avrò due poli semplici $z_(0) =0$ e $z_(1) =-1$
$ Res(f,0)= lim_(z -> 0) (1-t)/(t(t+1))t=1 $
$ Res(f,-1)= lim_(z -> 0) (1-t)/(t(t+1))(t+1)=-2 $
Quindi in definitiva mi trovo:
$ int_(|z+4|=4pi) tan(z) dz = 2pij(1-2)=-2pij $
Il problema vero e proprio che rende il mio metodo inutilmente complicato è la sostituzione di variabile all'interno del dominio come ma faccio va bene come ho risolto?
Sapendo che $ e^(jz)=t rArr log e^(jz)=logt rArr z= logt/j $
Quindi avrò che $ D=|logt/j-pi|=4pi $ qui ho pensato e forse è una stupidaggine di usare lo sviluppo di taylor per calcolarmi z e poter dividere in parte reale e immaginaria è plausibile o è tutto una boiata?