gabriella127 ha scritto:Mi riallaccio a quanto detto da obnoxiuos poco fa.
O ho capito fischi per fiaschi del testo dell'esercizio, cosa possibile, ma a me sembra falso che la somma di quella serie sia necessariamente finita.
Questo perché mi sembra falso che gli $a_n$ siano necessariamente finiti. [...]
Non credo sia un'argomentazione valida, la serie a cui siamo interessati è \[ \sum \frac{a_n}{n^2 \log^2 (n)}; \] \( a_n \) ha "una certa libertà di essere illimitata" senza far divergere la serie.
gabriella127 ha scritto:[...]
Controesempio:
prendiamo $f(x)=sinx$,
che è una funzione limitata.
Essendo limitata il suo sup sarà $ <+ oo $ su qualsiasi sottinsieme di $ mathbb(R) $ , e quindi anche su quelli di cardinalità finita $A$.
Quindi varrà (è una somma finita):
\[ \sup_{A \in \mathcal{P} } \sum\limits_{x \in A} \begin{vmatrix} f(x) \end{vmatrix} < + \infty \] [...]
Questo è falsissimo, basta considerare per esempio gli insiemi (finiti) \[ B_{n} = \{ \pi/2, 3 \pi /2 , \dots , (2n+1) \pi /2 \}. \]
Sono abbastanza sicuro che quella serie sia convergente, e la dimostrazione (o le idee principali thereof) sta nei miei messaggi precedenti.