Ho pensato di postare in questa sezione perchè, anche se di estrazione elettrotecnica, in realta' ritengo sia un tema di algebra lineare.
Consideriamo una generica rete elettrica lineare accessibile esternamente da 2 porte costituita all'interno da soli elementi lineari permanenti senza-memoria quali bipoli resistivi e generatori controllati di tensione/corrente (non sono ammessi pertanto generatori indipendenti di tensione o corrente).
Da un punto di vista topologico possiamo chiudere tale rete su 2 bipoli esterni in corrispondenza delle 2 porte di accesso. Applicando i metodi di analisi circuitali siamo in grado di impostare un sistema lineare omogeneo di $2N-2$ equazioni in $2N$ incognite (le tensioni e correnti di ramo) essendo $N$ il numero completo di rami ($N-2$ rami interni alla rete + 2 rami costituiti dai 2 bipoli esterni). Nel computo delle equazioni non compaiono le equazioni costitutive dei 2 bipoli esterni.
La questione ora è: tale rete elettrica è sempre rappresentabile esternamente da 2 equazioni lineari omogenee (al limite non linearmente indipendenti) ?
Secondo l'argomento del libro "Fondamenti di Elettrotecnica I" - Martinelli, Salerno la risposta è affermativa: il sistema omogeneo sopra descritto ($2N-2$ equazioni in $2N$ incognite) puo' esser risolto attraverso il metodo di eliminazione di Gauss eliminando le tensioni e correnti dei rami interni (le incognite per le tensioni e correnti dei bipoli interni sono $2(N-2) = 2N-4)$). Restano pertanto $2N-2-(2N-4) = 2$ equazioni omogenee per descrivere esternamente la rete.
Il punto dubbio è il seguente: cosa succede se il rango della matrice associata al sistema non è massimo ? Eliminando le sole incognite interne la matrice a scalini ottenuta potrebbe risultare con un numero residuo di equazioni omogenee maggiore di 2.
Cosa ne pensate ?