Da quanto ho capito studiando e confermato leggendo il tuo link è che l'integrale improprio sia uno strumento per poter integrare anche i casi in cui non rispetta i due dettami imposti da Riemann che ha fomulato nella sua costruzione dell'integrale sfruttando la funzione a scala.
Richiede in modo basilare che:
1) integro su intervallo compatto
2) funzione da integrare definita e limitata sull'intervallo
Per far questo mi riconduco all'integrale in caso finito e lo indebolisco in quel che mi va stretto
(vado a ritroso)
2) la richiesta di limitatezza dell'integranda nell'intervallo chiuso e limitato posso eliminarla prendendo un intervallo [a,b). (Però il dubbio è sull'altra richiesta che segue...)
1) in questo caso l'idea è prendere un intervallo illimitato, per farlo prendo un estremo c e lo mando al limite dopo aver sfruttato il teorema fondamentale del calcolo integrale.
Però far questo mi pare di poterlo fare operativamente sia spezzando l'integrale (sfruttando la proprietà di additività) come ho fatto sopra (in cui trovo la forma indeterminata $-oo+oo$ però e da cui non so uscirne).
Oppure posso fare come fa feddy, ovvero non lo spezzo, lo calcolo con sue parametri "al finito" (le "a") e poi mando a infinito. Però al finito si elide a/2 con -a/2 e quindi il limite di zero per a->oo è comunque zero
Poi c'è wolfram che invece dice divergere. E quidi si c'è una lacuna, ma non riesco a capirla perché la teoria speravo di averla capita
Disastro!
PS: scusate mi sono accavallato nell'editing e ho potuto leggere solo ora le risposte per cui vi ringrazio
, credo di non aver la più pallida idea di cosa sia il valore principale e non l'ho mai visto
. Ci guarderò sicuramente ma vedo che appartiene a corsi futuri quindi non è una lacuna quanto una "lacuna di fabbrica" non nascendo "imparato".
Mi pare di capire quindi che sono costretto a spezzare (ma perché?) dalla teoria (quello che so è qui sopra, sono andato a memoria proprio per vedere e mostrarvi cosa so e nel caso permettervi di individuare cosa NON so) non ho capito il motivo.
E comunque anche spezzando mi viene una dannata forma indeterminata, quindi non dimostro che diverge