Salve, mi blocco nel punto (3) di questo esercizio
Sia \( f \) analitica in \( D(0,1+\epsilon) \) per qualche \( \epsilon \).
(1) Dimostra che
\[ f(z) = \frac{1}{2\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{e^{it}}{e^{it}- z} f(e^{it}) dt;\]
(2) Dimostra che per tutti \( z \in D(0,1) \)
\[ f(0) = \frac{1}{2\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{1+e^{it}\overline{z}}{1-e^{it}\overline{z}} f(e^{it}) dt;\]
(3) Dedurre la formula integrale di Schwarz, con \( z \in D(0,1) \).
\[ f(z) = i \Im (f(0)) +\frac{1}{2\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{e^{it}+z}{e^{it}-z}\Re( f(e^{it})) dt;\]
Allora io ho fatto in questa maniera
\[ f(z) = f(z) - f(0) + f(0) = f(z) - f(0) + \Re(f(0)) + i \Im(f(0))= f(z) +\frac{1}{2}(\overline{ f(0)} - f(0) ) + i \Im(f(0)) \]
Voglio dimostrare che
\[ f(z) +\frac{1}{2}(\overline{ f(0)} - f(0) ) = \frac{1}{2\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{e^{it}+z}{e^{it}-z}\Re( f(e^{it})) dt \]
Uso il punto (1) e il punto (2) nel seguente modo
\[ = \frac{1}{2\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{e^{it}}{e^{it}- z} f(e^{it})dt + \overline{\frac{1}{4\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{1+e^{it}\overline{z}}{1-e^{it}\overline{z}} f(e^{it}) dt} - \frac{1}{4\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{1+e^{it}\overline{z}}{1-e^{it}\overline{z}} f(e^{it}) dt \]
\[ = \frac{1}{4\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{2e^{it}}{e^{it}- z} f(e^{it})dt + \frac{1}{4\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{1+e^{-it}z}{1-e^{-it}z} \overline{f(e^{it})} dt - \frac{1}{4\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{1+e^{it}\overline{z}}{1-e^{it}\overline{z}} f(e^{it}) dt \]
\[ = \frac{1}{4\pi } \int_{0}^{2\pi}\left( \frac{2e^{it}}{e^{it}- z} - \frac{1+e^{it}\overline{z}}{1-e^{it}\overline{z}} \right) f(e^{it})dt + \frac{1}{4\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{e^{it}+z}{e^{it}-z} \overline{f(e^{it})} dt \]
Ma da qui in poi mi blocco...
dovrei ottenere
\[ \frac{2e^{it}}{e^{it}- z} - \frac{1+e^{it}\overline{z}}{1-e^{it}\overline{z}} = \frac{e^{it}+z}{e^{it}-z} \]
così posso fare
\[ = \frac{1}{2\pi }\int_{0}^{2\pi}\frac{e^{it}+z}{e^{it}-z} \frac{1}{2} \left(f(e^{it}) +\overline{f(e^{it})} \right) dt = \frac{1}{2\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{e^{it}+z}{e^{it}-z}\Re( f(e^{it})) dt \]
Ma mi sembra falso, anche perché sarebbe vero
\[ \frac{2e^{it}}{e^{it}- z} - \frac{e^{it}+z}{e^{it}-z}=\frac{1+e^{it}\overline{z}}{1-e^{it}\overline{z}} \]
e quindi
\[ \frac{e^{it}-z}{e^{it}-z}=\frac{1+e^{it}\overline{z}}{1-e^{it}\overline{z}} \]
e quindi
\[ 1=\frac{e^{-it}+\overline{z}}{e^{-it}-\overline{z}} \]
cosa falsa... e quindi boh