Siccome vedo che la questione originale è caduta nel vuoto (perché se uno sa già che $sl(n)$ è semisemplice allora l'argomento diventa un po' del tipo "è vero perché è vero"), vorrei almeno rispondere alla domanda con qualche dettaglio
frankardius ha scritto:“Sia $ mathbb(K) $ un campo di caratteristica zero. Dimostrare che una matrice quadrata a coefficienti in $ mathbb(K) $ ha traccia nulla se e solo se la si può scrivere come combinazione lineare di matrici del tipo AB-BA.”
Sia $A$ una matrice $n xx n$ di traccia nulla. Indicando con $E(i,j)$ la matrice $n xx n$ che ha $1$ nella posizione $(i,j)$ e $0$ altrove abbiamo ovviamente che (gli indici nelle sommatorie vanno sempre da $1$ a $n$)
$A=sum_{i,j} a_{ij}E(i,j)$
dove $a_{ij}$ è l'elemento del campo $K$ che appare nella posizione $(i,j)$ della matrice $A$, e il fatto che $A$ ha traccia nulla si traduce nel fatto che
$sum_i a_{ii} = 0$
Ora, è chiaro che possiamo scrivere
$A = B+C$
dove
$B=sum_{i ne j} a_{ij}E(i,j)$
$C=sum_i a_{ii}E(i,i)$
Siamo quindi ridotti a dimostrare che $B$ e $C$ sono combinazioni lineari di matrici del tipo $XY-YX$ (dove $X,Y$ sono matrici $n xx n$).
Cominciamo con $B$.
Siccome $B=sum_{i ne j} a_{ij}E(i,j)$ basta mostrare che le matrici $E(i,j)$, dove $i ne j$, sono del tipo $XY-YX$, ma questo segue dall'identità (facile da dimostrare)
$E(i,j)=E(i,j)E(j,j)-E(j,j)E(i,j)$
(che - ATTENZIONE - è falsa se $i=j$).
Se qualcuno avesse dubbi su come si mostra questa identità ricordo che:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Indicando con $X_{rs}$ la componente $(r,s)$ della matrice $X$, si ha in generale che
$(XY)_{rs}=sum_k X_{rk} Y_{ks}$
e quindi
$(E(i,j)E(j,j))_{rs} = sum_k E(i,j)_{rk} E(j,j)_{ks}$
ovviamente vale $1$ se e solo se $r=i$, $k=j=s$, altrimenti vale $0$, segue quindi che
$E(i,j)E(j,j)=E(i,j)$
Inoltre
$(E(j,j)E(i,j))_{rs} = sum_k E(j,j)_{rk} E(i,j)_{ks}$
ovviamente vale $0$ a meno che non sia $r=k=j$ e $i=k$, $j=s$, da cui $i=j$, cosa falsa per ipotesi. Quindi
$E(j,j)E(i,j)=0$
Questo prova l'identità enunciata.
Ora passiamo a $C$.
Qui abbiamo $C=sum_i a_{ii}E(i,i)$ ma stavolta abbiamo una condizione sui coefficienti, $sum_i a_{ii}=0$, cioè \( \displaystyle a_{nn}=-\sum_{i=1}^{n-1} a_{ii} \) . Segue che
$C=sum_{i=1}^{n-1} a_{ii} (E(i,i)-E(n,n))$.
Siamo quindi ridotti a mostrare che le matrici $E(i,i)-E(j,j)$ sono del tipo $XY-YX$.
Questo segue immediatamente dal fatto che
$E(i,j)E(j,i)=E(i,i)$
(che si dimostra usando il procedimento indicato nello spoiler sopra)
da cui segue che
$E(i,i)-E(j,j) = E(i,j)E(j,i)-E(j,i)E(i,j)$
Non ho usato da nessuna parte che $K$ ha caratteristica zero, quindi l'ipotesi "$K$ ha caratteristica zero" è superflua.
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.