Buongiorno, volevo porre due domande sulla disuguaglianza di cauchy schwarz.
Il punto su cui nutro dubbi è il seguente: nel testo che ho dice che l'uguaglianza della $|x*y|<=||x||*||y||$ si ha $<=>$ ($x=0$ or $y=0$ or $x=ay$ (cioè proporzionali con a reale)).
Ora il testo procede così:
(domanda1) prende $x=0$ e dice $0<=0$, discorso analogo per $y=0$ e quindi per questi due l'uguaglianza è verificata, perciò questo dimostra che se $x=0$ o $y=0$ => "= in c-s".
Poi assume $(x+ay)=0$ e questo vale se e solo se $x=ay$ questo ci dice che se hanno quella proporzionalità allora vale l'uguaglianza in c-s e viceversa se vale c-s ho proporzionalità. Inoltre questo include il caso (x=0 e y=0, banalmente proporzionali sempre).
Manca però da dimostrare che "= in c-s" => $x=0$ o $y=0$ a mio parere, come si fa questo passo?
Ma questo modo di svolgere a pezzi la dimostrazione degli or non mi convince a fondo e spiego nel seguito perché
D'altra parte formalmente quanto visto nel primo punto non mi pare affatto dimostrare (in modo logicamente esatto) la catena di or, cerco di spiegare il perché dico questo:
(domanda2a) la seconda cosa che mi lascia molto perplesso è la seguente. Quello che vorrei dimostrare io se assumo:
$|x*y|=||x||*||y|| =>$ $(x=0$ or $y=0$ or $x=ay)$(*)
è che dato $R$ allora valgono $P$ o $Q$ (o $S$), per semplicità lasciamo "S" da parte e consideriamo solo R,P,Q tanto è uguale il discorso: se io assumo "R" e dimostro "P" in realtà ho già mostrato $R => (P or Q)$ nel complesso; lo si vede semplicemente dalla tavola di verità: $(R=>P)=>(R=>(P or Q))$ sempre vera1, oppure vedendolo in altro modo, ma sempre perfettamente congruente al precedente, ci basta notare che $R => (P or Q) ≡ (R=>P) or (R=>Q)$, quindi se mostro R=>P ho finito! Quello che quindi non mi convince in questo tipo di dimostrazione è che dimostrando P mi importa ben poco del fatto che Q sia vera o meno (per assurdo può anche essere sempre vera o sempre falsa la Q che vale comunque quanto dimostrato). Tuttavia, ad esempio nel nostro caso, vorremmo dimostrare: "=" => $x=0$ o $y=0$(**), se io mostro che data l'uguaglianza di ipotesi allora ho $x=0$ dal mio ragionamento concluderemmo che vale il teorema (**) e che sia dimostrata anche se $y!=0$ sempre. Però questo in realtà non dimostra affatto quello che intuitivamente vogliamo: il senso del discorso è che vorrei anche che quanto detto valga per $y=0$, non posso tralasciare y perché vorrei che anche nel caso in cui quella vale 0 valgano le considerazioni fatte, ma io ho dimostrato solo per x=0. Quindi come risolvo questa cosa in (*), scritta così come sul testo sembra che basta provare uno dei tre "or" coerentemente con la tavola di verità... ma non è così, palesemente.
(domanda2b)
Volevo infine chiedere se fosse corretto quanto già espresso nella precedente domanda ossia se è corretto dire che i due seguenti modo di vedere la situazione sono gli stessi:
Voglio dimostrare: $R => (P or Q)$
- questo vuol dire che $R => (P or Q)$ deve essere una tautologia, ma posso riscriverla come $R => (P or Q) ≡ (R=>P) or (R=>Q)$2, questo vuol dire che basta mostrare $(R=>P) or (R=>Q)$ sia una tautologia, e dato l'or questo succederà se $R=>P$, quindi basta mostrare solo $R=>P$.
- in altro modo posso dire $(R=>P)=>(R => (P or Q))$, quindi basta dimostrare il solo $R=>P$ per avere dimostrato anche: $R => (P or Q)$
Spero possiate farmi capire come nella precedente , perché solo grazie a questo forum e letture di recenti discussioni ho avuto dubbi su questi argomenti e ho imparato da voi più che sui libri.