dissonance ha scritto:Ricordiamoci sempre che, a livello intuitivo, un integrale è una somma. Una somma è il numero seguente:
\[
a_1+a_2+\ldots+a_n,\]
che scriviamo usando il simbolo, molto conveniente, di sommatoria:
\[
\sum_{k=1}^n a_k.\]
Nell'esempio precedente abbiamo sommato \(n\) numeri disposti in fila:
\[
\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \ldots & a_n \end{bmatrix}.
\]
Ma supponiamo di avere invece \(n\times m\) numeri disposti in una tabella:
\[
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots &a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{m1} & a_{m2} &\ldots & a_{mn}
\end{bmatrix}.
\]
Vogliamo sommare tutti questi numeri. Qui appare una scelta da fare. Potremmo sommare per colonne, ovvero sommare tutti gli elementi di ciascuna colonna, appuntare i risultati e infine sommare tutti questi risultati. Usando la notazione con le sommatorie, stiamo eseguendo l'operazione seguente:
\[
\sum_{h=1}^m \left( \sum_{k=1}^n a_{kh} \right).\]
Oppure potremmo sommare per righe, ovvero sommare tutti gli elementi di ciascuna riga, appuntare i risultati e infine sommare tutti questi risultati:
\[
\sum_{k=1}^n \left( \sum_{h=1}^m a_{kh} \right).\]
Siccome la somma è una operazione commutativa, è chiaro che questi due procedimenti porteranno allo stesso risultato. Infatti, potremmo sommare gli elementi della tabella nell'ordine che più ci piace e otteremo sempre lo stesso risultato, che possiamo ancora scrivere con il simbolo di sommatoria, ma con due indici, ovvero una sommatoria doppia, la versione finita dell'integrale doppio:
\[
\sum_{h=1\ldots m,\ k=1\ldots n} a_{kh}.\]
Abbiamo così dimostrato la seguente identità:
\[\tag{1}
\sum_{h=1}^m \left( \sum_{k=1}^n a_{kh} \right) = \sum_{k=1}^n \left( \sum_{h=1}^m a_{kh} \right) = \sum_{h=1\ldots m,\ k=1\ldots n} a_{nm}.\]
Questo è il teorema di Fubini.
NOTA FINALE: Abbiamo detto che a livello intuitivo, un integrale è una somma. Se invece avessimo detto che un integrale è un *limite* di somme, saremmo passati dal livello intuitivo al livello rigoroso. Ma questo post riguarda il livello intuitivo; per il rigore ci sono i libri.
Non sono d'accordo che questo esempio sia particolarmente illuminante o anche solo collegato al teorema di Fubini. La somma che hai scritto tu è una somma finita, e per le somme finite si può scambiare l'ordine in cui si somma senza alcuna ipotesi aggiuntiva.
Il fatto controintuitivo è proprio che le somme
infinite non godano né della proprietà associativa (mettete delle parentesi a \(1-1+1-1+1-1+\dots\) in due modi diversi, cosa viene?) né della proprietà commutativa (ma questo non è banale, è un teorema di Riemann).
Accettato questo, le condizioni aggiuntive affinché le sommatorie siano intercambiabili sono proprio quelle fissate dal teorema di F., e né nell'enunciato né nella dimostrazione c'è niente di strano. E' come trovato controintuitivo che non tutti i domini di integrità siano UFD, è strano, ma è anche interessante ed è un fatto della vita.
Che le somme infinite non godano delle proprietà associativa/commutativa può poi apparire controintuitivo, ma del resto, in retrospettiva, chiunque ha passato un esame di analisi può fare la domanda speculare: perché mai dovrebbero goderne? Dove sta scritto?