Sempre se aveste voglia, mi piacerebbe riportare la seconda parte dubbia:
Alternativamente, il volume è dato dalla formula $sqrt(det(vi · vj ))$ (sempre pos-
itivo). La matrice $(vi · vj )$ coincide infatti con la matrice prodotto $M^t · M$ .
OSS: Siano dati k vettori ${v1, . . . , vk}$ in Rn. Consideriamo il parallelogramma
generato da essi. In questo caso, per calcolare il volume rispetto al prodotto
scalare standard, possiamo usare la formula $sqrt(det(vi · vj ))$. Infatti, a meno di
trasformazioni ortogonali, possiamo supporre che i vettori appartengano a $RR^k ×
0 ≤ RR^n$ e quindi ci riportiamo nella situazione in cui il numero k di vettori
coincide con la dimensione dell’ambiente Rk.
Più in generale, dati k vettori R{v1, . . . , vk}R in uno spazio Euclideo $(V, ·)$, il
volume del parallelogramma da essi generato coincide con $sqrt(det(vi · vj ))$ perché
qualunque base ortonormale per V genera una isometria con R^n, e quindi ci
riportiamo nella situazione precedente
Sulla parte di $sqrt(det(vi · vj ))$ mi pare chiaro, meno chiaro è il discorso:
"Infatti, a meno di
trasformazioni ortogonali, possiamo supporre che i vettori appartengano a $RR^k ×
0 ≤ RR^n$ e quindi ci riportiamo nella situazione in cui il numero k di vettori
coincide con la dimensione dell’ambiente Rk."
Credo di non aver ben capito cosa voglia fare.
E quando dice:
perché qualunque base ortonormale per V genera una isometria con R^n, e quindi ci
riportiamo nella situazione precedente
come si riconduca al precedente.
Onestamente ci ho ragionato molto, ma non ho concluso granché