Dai miei appunti ho questa definizione di classe $C^2$: sia $f: X sube RR^2 -> RR$ una funzione. Una funzione si dice di classe $C^2(X)$ se è derivabile due volte e se risultano continue le sue derivate parziali seconde.
Ma quindi la funzione $f(x,y) = sqrt(x^2+y^2)$ è di classe $C^2$? A me verrebbe da dire di no, perché dalla definizione mi sembra di capire che le derivate parziali seconde debbano essere continue in tutto il dominio della funzione originaria. Il dominio di $f(x,y) = sqrt(x^2+y^2)$ è $RR^2$ ma $f_x(x,y) = x/sqrt(x^2+y^2)$ che è continua nel suo dominio ma non in $(0,0$), punto che invece appartiene alla funzione di partenza. Quindi mi verrebbe da dire che $sqrt(x^2+y^2)$ non sia nemmeno di classe $C^1$.
Mi interessa capire questa cosa sopratutto perché nel corso che ho seguito si è enunciato il teorema di Schwarz senza dimostrarlo, e vorrei almeno capire quando lo devo applicare e quando no. Infatti quest'ultimo si applica solo se le funzioni sono di classe $C^2$.