Grazie.
Quindi la domanda del prof era un po' mal posta (credo volesse semplificarla a non matematici ma mi abbia solo confuso di più).
La richiesta era: $dy/dx=f(x,y)$ è risolvibile in generale?
Messa così credo volesse dire "assunta f(x,y(x)) è risolvibile in generale come funzione data per funzioni elementari e valida per ogni $x in RR$"?
Ora, cercando risposte avevo trovato il teorema di esistenza e unicità per un problema di cauchy, ma questo teorema non faceva al caso mio perché dimostrava l'esistenza di almeno una soluzione data f continua ma con una condizione iniziale e trovava un intorno per cui c'era effettivamente una soluzione. Mentre io volevo il caso senza condizione iniziale, inoltre volevo $x in R$, quindi soluzioni y che fossero funzioni su tutto R. E mi pare quel teorema non mi dia risposte a questo quesito.
Dal teorema che mi riporti mi pare che sia sempre possibile trovare (almeno) una soluzione y per quel tipo di equazioni a patto che f sia continua. Quindi messa così la soluzione c'è sempre per f continue.
Però questo teorema che mi citi mi pare proprio quello per un problema di cauchy e quindi mi garantisce che una soluzione esiste ma non per $x in R$, ma solo su intervalli di R. Io invece cercavo una risposta a quella domanda per x in R.
(prima domanda sul thm)Oltre a questo volevo chiederti
(seconda domanda sul thm) dal teorema non possiamo concludere molto su f non continua e mi chiedo quindi: se f non è continua potrei avere comunque soluzione (anche non in forma elementare) in certi casi con x che si estende in tutto R? Oppure se non è continua non ho mai soluzione (non so se esista un altro teorema per questo)
Ciò detto -se non ho detto cacchiate
- volevo solo chiarire altri punti; tuo tempo e voglia permettendo:
°) $y′(x)=e^-(x^2)$
mi proponevi questa, però questo è un esempio di equazione lineare.
La mia domanda era leggermente differente, provo a esprimerla meglio: se ho una f(x,y) che mi dà una eq.
non a variabili separabili (quindi non si può scrivere come $d(x)*l(y)$) e
non lineare; mi chiedo: ci sono casi in cui data una f del genere comunque l'equazione sia risolvibile con altri metodi e ci dà comunque (almeno) una
soluzione espressa con funzioni elementari e con $x in R$?
Non mi vengono esempi in mente.
per questo ipotizzo: vale forse qualcosa tipo, se non è a variabili separabili e lineare => la funzione soluzione non è sicuramente elementare? oppure potrebbe essere che non esiste mai proprio? o forse è elementare e non vale per x in tutto R? (una di queste?)
°) mi sembra chiaro dal tuo esempio che non posso asserire se eq. è lineare => la soluzione è esprimibile con funzioni elementari.
Tuttavia mi chiedo, se ho una equazione a variabili separabili ottengo sempre una soluzione esprimibile con funzioni elementari e che sia soluzione per ogni x in R? oppure ci sono casi in cui pur essendo esprimibile a variabili separabili ha soluzione:
- non elementare
- oppure una soluzione elementare che non vale per ogni x in R?
(mi pare di no)