Onde di De Broglie

Gli elettroni , i protoni e i neutroni sono particelle:

essi sono componenti degli atomi, che si combinano per formare gli oggetti presenti nell'Universo. Perciò queste entità atomiche devono avere massa, volume…. , non importa quanto piccole.

Ma con la scoperta che la luce ha una natura duale (ondulatoria e corpuscolare) il fisico francese Louis-Victor de Broglie decise che le particelle potessero benissimo comportarsi come onde e

nel 1927 stabilì che la lunghezza d'onda di una particella è:

m è la massa della particella e

v è la velocità della particella

dove

Questa lunghezza d'onda viene chiamata

Lunghezza d'onda di de Brolie

Questo concetto venne accolto con scetticismo perché fino ad allora non si era mai osservato un comportamento ondulatorio di una particella elementare. Ma quattro anni dopo la proposta di de Broglie si scoprì che gli elettroni potevano essere diffratti e produrre figure di diffrazione, qualcosa insomma che può essere spiegato solo col modello ondulatorio.

VALORI D'INGRESSO

Massa di un elettrone

Velocità di un elettrone:

FORMULE

Lunghezza d'onda di de Broglie :

Questa è dell'ordine di grandezza di un raggio x .

Notare che la lunghezza d'onda di de Broglie è inversamente proporzionale alla velocità della particella:

ESEMPIO

La natura ondulatoria del tuo tavolo non è direttamente osservabile perché, come si può constatare dalla definizione, la lunghezza d'onda è inversamente proporzionale alla massa oltre che alla velocità. Proviamo a vedere quale sarebbe la lunghezza d'onda del tavolo se decidesse di spostarsi a 130 chilometri l'ora.

La misura di è troppo piccola per essere misurata. Diversamente dall'elettrone, la cui lunghezza d'onda per varie velocità è simile a quella della luce, questo valore va molto al di là della nostra capacità di misurazione. E se il tavolo non si muove? o si muove molto lentamente?

Bè, è gia meglio!

Ma che significa che il vostro tavolo non si muove ?

In tal caso la lunghezza d'onda di de Broglie diventa infinita!

Ricordarsi che la misura di una grandezza divisa per la misura di un altra grandezza che tende a zero tende all' infinito.

Come si interpretano fisicamente i valori trovati?

La quiete può essere considerata , forse, come un'onda di

de Broglie di lunghezza d'onda infinita? Attendo una risposta!

Carlo Elce

Iterazioni e orbite

Valutazione di Funzioni

Iterazioni e orbite

Iterare una funzione significa valutare la funzione ripetutamente. Nella prima iterazione, la funzione è valutata per un valore iniziale (chiamato seme ). Nella seconda iterazione la funzione è valutata per il valore uscito dalla prima iterazione e così via.

La sequenza dei valori in uscita è chiamata orbita della funzione iterata per il seme assegnato.

Una delle cose meravigliose dell'era dei computer è che possiamo demandare agli elaboratori elettronici calcoli noiosi (come quelli delle iterazioni), che essi svolgono in una frazione di secondo.

Ecco una procedura che valuta una funzione iterata per un seme assegnato. Questa procedura usa una variabile intervallo e una variabile indice per mantenere la traccia delle successive iterazioni.

Reiteriamo la funzione

per

troviamo la prima iterazione:

Impostiamo l'intervallo delle iterazioni da 2 a un dato valore n:

Reiteriamo la funzione e listiamo l'orbita:

Provate a cambiare il seme in 35, 88, e -10.
Quali risultati ci si può aspettare?

L'orbita è rappresentata qui sotto. Quale effetto produce il seme sull'andamento dell'orbita?

Provate ad iterare le seguenti funzioni:

A seconda della funzione da iterare e del valore per il seme scelto, si possono scoprire comportamenti molto diversi per l'orbita.

Ecco i comportamenti di diverse orbite.

punto fisso

tende a un punto fisso

tende a un punto fisso

tende all'infinito

Qui l'orbita oscilla tra due valori ed è detta periodica con periodo 2.

periodica

con periodo 4

periodica con

periodo 6

Qui non è riconoscibile alcuna struttura. Questo comportamento è detto caotico!

Anche sistemi dinamici semplici possono presentare un andamento imprevedibile o caotico. Qui sotto itereremo una famiglia di funzioni della forma f(x) = x 2 – c, per vedere come piccole variazioni del valore di c possono dare origine a comportamenti molto diversi.

Iterare la funzione per differenti valori di c (c è globalmente definito sotto), mantenendo costante il valore del seme .

Prima iterazione:

Intervallo delle iterazioni:

Iterazione della funzione:

Provate a far variare c da 0.1 a 0.2, poi 0.3, poi 0.4, poi 0.5, e così via fino a 2. Notate il diverso comportamento delle orbite! Per ogni valore di c, rappresentate il tipo di comportamento mostrato.

lo facciamo noi per voi con il grafico di una funzione parametrica che presenta proprio c come parametro

Il grafico seguente fa vedere l'animazione sulla variazione dell'orbita

Per quali valori di c la funzione presenta un andamento caotico?

Oscillazioni armoniche

In questo file illustreremo le vibrazioni libere in sistemi meccanici e in sistemi elettrici rappresentate da equazioni differenziali del secondo ordine lineari omogenee con coefficienti costanti.

Consideriamo un carrello di massa M, collegato ad una molla che esercita una forza, proporzionale alla distanza dal centro di oscillazione, uguale a , con attrito viscoso del mezzo espresso da una forza del tipo .

Questa è l'immagine del carrello nella posizione di equilibrio ( x = 0).

L'equazione differenziale per questo sistema meccanico è:

per

Immettiamo i valori dei coefficienti:

Trasformazione nella forma standard:

La soluzione simbolica esatta viene riportata qui sotto.

Soluzione simbolica :

Soluzione approssimata :

estremo destro temporale variabile

numero di passi temporali

Consideriamo un semplice circuito elettrico contenente una resistenza, una induttanza e un condensatore. La variazione di Q sulle superfici del condensatore è rappresentata dalla seguente equazione differenziale:

Immettiamo i valori dei coefficienti:

Trasformazione nella forma standard:

La soluzione simbolica esatta viene riportata qui sotto.

Soluzione simbolica :

Soluzione approssimata:

numero di passi temporali

estremo destro temporale variabile

Oscillazioni smorzate

Il Pendolo Smorzato

Questi appunti mostrano le varie fasi per la costruzione del il sistema di equazioni che descrivono il moto di un pendolo smorzato a partire dalle:

Condizioni iniziali relative alla posizione e alla velocità

N , il numero di passi da rilevare lungo l'intervallo temporale

c , la costante di smorzamento

Ambiente

Le equazioni del moto di un pendolo smorzato sono

dove p(t) è la posizione angolare del pendolo e v(t) è la velocità angolare.

E' possibile costruire soluzioni sull'intervallo temporale [0,20] per una serie di condizioni iniziali , usando una tecnica numerica detta

metodo del quarto ordine Runge–Kutta con passi di misura fissa.

Dapprima si sceglie un numero di passi e si definiscono variabili di escursione per generare le soluzioni:

numero di passi

dimensione del passo temporale

Variabili di escursione per generare e tracciare soluzioni:

Per generare otto soluzioni, conviene calcolarle a blocchi. Bisogna definire un vettore derivativo che dia le derivate di p e v per quattro soluzioni. Si verranno ad aggiungere altre righe alla matrice risolutiva. La costante di smorzamento c viene posta uguale a 0.2 .

blocco vettore derivativo

Condizioni iniziali

Ora si scelgono otto condizioni iniziali. In questo esempio , alcune traiettorie vengono fatte partire dalla posizione 0 con velocità positiva, e altre dalla posizione 2 p con una velocità negativa:

Integrazione numerica Runge–Kutta

Queste equazioni sviluppano l'approssimazione del passo Runge–Kutta che generera le traiettorie seguenti:

Le due seguenti equazioni definiscono iterazioni sull'indice i per generare le otto traiettorie . Per facilità di manipolazione, le condizioni iniziali vengono riunite in un sola matrice x . La colonna i-sima di x contiene le otto soluzioni , con le posizioni negli elementi pari e le velocità negli elementi dispari.

Indicare la direzione

Nell'interpretazione di un tracciato di fase è utile sapere la direzione e il verso secondo cui evolve ogni soluzione. Da solo, il grafico della soluzione non da questa informazione, ma può essere aggiunta posizionando frecce lungo la traiettoria che indichino la direzione corrispondente al variare del tempo. Le seguenti definizioni (alquanto complicate) hanno lo scopo di creare uno spazio ogni quindicesima colonna di x e di inserire punti che disegneranno le frecce.

La funzione seguente genera un vettore unitario nella direzione della freccia, che è la direzione del vettore che unisce il punto precedente al successivo. La variabile indipendente a questa funzione sarà una schiere due per due dove la prima fila denota le posizioni e la seconda le velocità per una soluzione particolare.

Porre la spaziatura delle frecce:

frecce ogni quindicesimo punto

Ora ricopiare x in X , lasciando spazi ogni K esima colonna per le frecce

Calcola i punti terminali delle frecce ed inseriscile in X . Il parametro di scala stabilisce la dimensione delle frecce.

Ripetere i punti sulle teste delle frecce, in modo che i lati si ripieghino sul punto:

Per tracciare i grafici, è necessaria una variabile di campo che che tenga conto dei punti in più aggiunti dalle frecce:

Ecco rappresentato lo spazio delle fasi completo, con la posizione angolare sull'asse orizzontale e la velocità angolare sull'asse verticale.

Tre punti di equilibrio, segnati da rettangoli neri, sono visibili in questo tracciato: due punti di equilibrio stabile in (0, 0) e (2 p , 0) , e un punto di equilibrio instabile in ( p , 0) .

Tutte le traiettorie tratteggiate in rosso hanno (0, 0) come loro limite: esse giacciono nel bacino di attrazione di questo punto di equilibrio. Le traiettorie blu, a linea continua, alla fine girano in spirale verso il prossimo equilibrio in (2 p , 0) . L'equilibrio instabile in ( p , 0) rappresenta uno stato dove il pendolo è senza moto ma la massa pendolare è all' inizio del ciclo. Quattro delle traiettorie si avvicinano molto a questo punto. In due di queste il pendolo raggiunge quasi la cima e poi cambia la direzione e ricade; per le altre due il pendolo ce la fa appena a superare la cima cadendo poi nella regione successiva del dominio angolare. Si può vedere dall'assembramento delle frecce vicino all'equilibrio instabile quale posizione e quale velocità sta cambiando lentamente in questa regione dello spazio delle fasi.

Decadimento radioattivo

Teoria quantistica e Fisica Atomica

Decadimento radioattivo

Abbiamo tutti sentito parlare di elementi radioattivi, ma cosa sono? In sostanza, sono elementi il cui il nucleo emette radiazioni in una di queste tre forme:

Le sostanze radioattive emettono spontaneamente particelle elettriche positive( a ) negative( b ) e radiazioni elettromagnetiche( g )

radiazioni alfa: il nucleo emette particelle ad alta energia (due protoni e due neutroni) di un atomo di elio (senza gli elettroni)

radiazioni beta: il nucleo emette elettroni ad alta energia, mentre un neutrone si trasforma in un protone

radiazioni gamma: il nucleo emette un fotone ad alta energia.

Gli elementi si presentano in varie forme. Quelli riscontrati nella tabella periodica sono solo i più stabili. Tuttavia, esistono anche forme instabili. Il carbonio, per esempio, con numero di massa 12 (che corrisponde a 6 protoni + 6 neutroni) è presente in una forma con numero di massa 14 ( 6 protoni e 8 neutroni). In questa forma risulta instabile perché ci sono più neutroni che protoni. Così i neutroni in eccesso diventano un protone ed un elettrone. L'elettrone viene espulso, e l'atomo rimane con 7 protoni e 7 neutroni e diventa stabile. Questo processo viene chiamato decadimento beta .

Come avrete indovinato un nucleo sottoposto a decadimento beta espelle due neutroni e due protoni, mentre un nucleo sottoposto a decadimento gamma espelle un fotone ad alta energia (questo è il risultato della ridistribuzione di carica all'interno del nucleo).

Il tempo richiesto perché metà di un campione radioattivo decada viene detto vita media. Il carbonio 14, per esempio, usato per determinare l'età di materia una volta organica (vivente), ha una vita media di 5730 anni. In tal modo se in origine in un osso ci fosse stato una quantità x di carbonio 14, 5730 anni dopo ce ne sarebbe solo x/2, e dopo altri 5730 anni ne rimarrebbe x/4, e ancora, dopo altri 5730 anni ne rimarrebbe x/8 e così via.

Se si riesce a determinare quante vite medie sono trascorse dal momento della creazione di un campione radioattivo, si riesce a determinare quanto tempo fa quel campione è stato creato.

Vita media del potassio-40 (K-40):

Percentuale di K-40 riscontrata a confronto con quanta ce ne dovrebbe essere:

Numero di vite medie trascorse:

Tempo trascorso dall'origine del campione:

Queste cifre di fatto si riferiscono all'età di una roccia lunare nella quale si riscontrò mancante l' 82% del suo conteggio originale di potassio -40 .

In Italia venne trovato un uomo congelato. La cosa strana è che l'uomo corrisponde alle caratteristiche di un uomo dell'Età della Pietra, che aveva con sé persino attrezzi dell'Età della Pietra.

(L'Età della pietra arriva fino a 5000 anni fa, quando l'uomo imparò a fondere il metallo ed entrò nell'Età del Bronzo).

Ma come possiamo provare, oltre ogni dubbio, che questa persona congelata morì più di 5000 anni fa? Facilissimo: con la datazione al radiocarbonio .

Il carbonio 14 viene continuamente creato nell'atmosfera e viene assorbito da tutti gli organismi viventi. Mentre sono vivi, gli organismi mantengono un equilibrio tra il decadimento e l'assorbimento di nuovo carbonio-14. Dopo la morte, tuttavia, l'assorbimento cessa, ma il decadimento continua, così la quantità di carbonio -14 diminuisce. Conosciamo il tasso di decadimento del carbonio -14 e sappiamo quanto carbonio -14 c'è in un organismo vivente, così misurando quanto carbonio manca, possiamo determinare quando l'organismo è morto.

Vita media del carbonio-14:

Percentuale di carbonio -14 riscontrata nel tizio morto paragonato a te:

Numero di vite medie dalla morte:

Da quando il tizio è morto:

La datazione al carbonio è buona per materiale organico, ma per datare rocce o altri oggetti inorganici?

Il trucco sta nel trovare un isotopo instabile con una vita media molto lunga. Grazie a Madre Natura, il potassio-40, con vita media di 1.25 x 10 9 anni, risulta praticamente perfetto. (Questo metodo di datare materiale si chiama datazione al radioisotopo ).

Per esempio, degli scienziati riscontrarono che una roccia lunare ha 82% del suo potassio-40 iniziale. Quanto è vecchia la roccia?

La roccia lunare ha circa 360 milioni di anni .

Caduta di tensione in un circuito in serie

Ah, Natale. Il dolce profumo di pino, il delizioso sapore dei dolci appena usciti dal forno ed una successione di lampadine che fino all'anno scorso funzionavano perfettamente, ed ora…. !

Adesso ci vorranno almeno tre ore per scoprire quale bulbo si è bruciato nella sfilza di centinaia di lampadine per poter riparare il circuito.

Questa eccitante tradizione dipende anche da un circuito progettato in serie.

Si le lampadine dell'albero di Natale fanno parte di un circuito. Il circuito consiste nella differenza di potenziale fornita dalla tua presa elettrica, da un conduttore di rame che trasmette la corrente a tutte le lampadine (che sono resistori), e riporta la corrente dopo un ciclo completo alla scatola di connessione, in questo modo:

dove tutte le linee spezzate indicano i resistori, le linee dritte rappresentano i cavetti del conduttore e le due lineette parallele indicano una sorgente di energia elettrica. Come si può vedere da questo disegno, la corrente ha solo la possibiltà di passare da una lampadina all'altra: questo si chiama circuito in serie. e se una delle lampadine si brucia, la corrente non può completare il ciclo, ed il circuito è interrotto. Perciò nessuna delle lampadine funziona.

Una bella caratteristica dei resistori in serie è che la resistenza totale del circuito è data dalla somma di ogni singola resistenza:

La legge di Ohm nel caso di un circuito in serie diventa:

Quando una corrente fluisce attraverso un resistore, ha una caduta di tensione proporzionale a V = IR.

In una serie di resistori, la corrente continuerà a cadere fino a quando non raggiungerà l'ultimo, e a quel punto raggiungerà uno stato stazionario. Cioè da quel punto in poi la corrente rimarrà stazionaria. Questo fenomeno ci permette di progettare un partitore di tensione, che è un esempio importante di resistori in serie che non ti farà impazzire.

Supponi di avere una lampadina che, quando è accesa, ha una resistenza di

ed è progettata per funzionare con una corrente di

Ma tutto quello che hai a disposizione è una batteria da 12-V :

Riordinando la legge di Ohm ci si accorge che la corrente prodotta da questa batteria è troppo grande:

Perciò, quello che devi fare è aggiungere un altro resistore in serie con la lampadina. Questo non significa che devi aggiungere un'altra lampadina.

Molte cose possono essere considerate resistori.

Ma che valore deve avere questo secondo resistore? Bhé, sappiamo che:

Riordinando per risolvere rispetto a R 2 si ottiene

Corrente nei liquidi: elettrolisi

Se sciogliamo nell'acqua contenuta in un voltametro del solfato di sodio al passaggio della corrente si nota che, sulla superficie dei due elettrodi si sviluppano bollicine di gas tanto più abbondanti quanto più intensa è la corrente, regolabile tramite un reostato .

voltametro di Hoffmann

Si può osservare che il gas che si è sviluppato all'anodo è l'ossigeno e il gas che si è sviluppato al catodo è l'idrogeno.

Il volume dell'idrogeno risulta doppio di quello dell'ossigeno.

Se sciogliamo nell'acqua distillata contenuta nel voltametro dell'acido cloridrico, al passaggio della corrente si nota che, sulla superficie dei due elettrodi si sviluppano bollicine di gas tanto più copiose quanto più è intensa la corrente. Con il voltametro in figura i gas

prodotti vengono raccolti per esser esaminati chimicamente.

voltametro di Hoffmann

Si può così vedere che il gas che si è sviluppato all'anodo è il cloro,

e quello che siè sviluppato al catodo è l'idrogeno

Possiamo allora concludere che in questo caso di elettrolisi si è verificata la separazione degli elementi che formano la sostanza disciolta nell'acqua.

Si nota anche che i prodotti della decomposizione si rendono visibili esclusivamente sulla superficie degli elettrodi e mai nella massa del liquido.

Se gli elementi che si liberano nell'elettrolisi, invece di essere gassosi, fossero solidi, essi si depositerebbero sugli elettrodi.

In ogni caso l'esperienza dimostra che tutti i metalli e l'idrogeno si liberano sempre al catodo; tutti gli altri elementi all'anodo.

Teoria di Bohr

In passato gli studiosi avevano idee molto vaghe sulla struttura dell'atomo. Dapprima i fisici pensavano che gli atomi fossero singole entità indivisibili. Poi, con la scoperta dell'elettrone, si seppe che ciò era falso. Ma se un atomo conteneva un elettrone con una carica negativa, doveva contenere anche una carica positiva per controbilanciare la prima, visto che si sapeva che gli atomi erano elettricamente neutri.

modello di Rutherfor d modello di Thomson

J. J. Thomson, l'uomo che scoprì l'elettrone, pensava che elettroni e protoni fossero impacchettati insieme come l'uva passa nel panettone.

Ernest Rutherford demolì questa teoria quando scoprì che l'atomo in gran parte è vuoto e introdusse la teoria secodo la quale gli elettroni giravano intorno al nucleo (che aveva carica positiva) come i pianeti intorno al Sole.

Questa teoria presentava però un problema. Come sapete quando una particella si muove lungo un'orbita circolare subisce un'accelerazione verso il centro del cerchio: l'accelerazione centripeta.

E quando un elettrone viene accelerato, emette radiazioni elettromagnetiche o luce. Per la tesi della conservazione dell'energia, l'energia di questa luce deve provenire dall'energia necessaria a percorrere l'orbita, così l'orbita dell'elettrone dovrebbe restringersi fino a cadere sul nucleo.

Niels Bohr si unì al gruppo di Rutherford e fece due cose sorprendenti. Provò a mettere insieme la teoria atomica con la teoria quantistica della luce di Einstein, e decise di agire supponendo che le leggi dell'elettromagnetismo non valessero all'interno dell'atomo. Cioè egli pensò di lavorare con il modello planetario degli elettroni orbitanti intorno al nucleo, che sembrava al momento la cosa più sensata.

Bohr suppose che gli elettroni non emettano luce quando ruotano intorno al nucleo. Ma quand'è che emettono luce? Bene, qui ci si potrebbe rifare sullo spettro osservato per l'atomo di idrogeno. Si sapeva che gli atomi di idrogeno emettono quattro lunghezze d'onda sul visibile: rossa a 6660 Angstrom (un Angstrom equivale a 10 -10 metri), verde a 4860 A, blu a 4340 A e violetta a 4100 A.

Mettendo tutto questo insieme, Bohr postulò che gli elettroni in un atomo hanno specifici livelli di energia nei quali possono stare, e quando saltano da un livello più alto ad un livello più basso emettono un fotone di energia pari alla differenza tra le energie necessarie a percorrere le due orbite. (Una logica estensione di questo è che, per poter saltare ad un livello energetico più alto, gli elettroni devono assorbire fotoni di energia pari all'energia che compete a quell'orbita).

Il più basso livello di energia in cui può stare l'elettrone di un atomo si chiama

stato fondamentale ,

e quando assorbe un fotone per muoversi ad un livello maggiore, questo si chiama

stato eccitato.

La legge matematica dei possibili livelli energetici di un atomo di idrogeno è:

dove

k è una costante di proporzionalità

q è la carica elementare e

a o è il raggio dell'atomo di idrogeno allo stato fondamentale

n è il livello energetico, iniziando con 1 per lo stato fondamentale, e aumentando a 2, 3, 4, . . .

Perciò l'energia dello stato fondamentale di un atomo di idrogeno è:

Il segno negativo (-) significa semplicemente che l'elettrone è legato al protone.

Dove eV sta per electron volt ed è uguale a:

Sapendo questo è più semplice definire i livelli energetici come:

e la differenza tra diversi livelli energetici come:

dove n 1 il livello energetico iniziale ed n 2 quello finale .

Livello energetico iniziale:

Livello energetico finale:

L'energia di ogni livello è:

La differenza di energia tra i due livelli è:

Questa variazione di energia corrisponde all'emissione di un fotone con una lunghezza d'onda di:

corrispondente alla linea blu dello spettro dell'idrogeno: un elettrone che salta dal quinto livello energetico al secondo.

Tutto quello di cui si è discusso si applica all'atomo di idrogeno, data la sua semplicità. Quando che si passa allo studio di atomi più complessi la struttura e le leggi che li governano diventano più complesse.

Per fortuna molte stelle, incluso il nostro Sole, sono composte pressoché interamente di idrogeno. E, come potete aspettarvi, le linee spettrali discusse qui sono una enorme risorsa per la comprensione delle stelle.

Le stelle sono classificate secondo il loro spettro. Mentre si può determinare approssimativamente la temperatura della superficie di una stella semplicemente guardandola (le più calde a ~35,000 K sono blu, le più fredde a ~3,000 K sono rosse; il Sole, tra quelle più fredde a ~5600 K, è gialla), questa può essere determinata più precisamente con l'analisi spettrografica, e le stelle sono raggruppate, dalla più calda alla più fredda, come O, B, A, F, G, K, M (Oh Be A Fine Girl, Kiss Me). Così il nostro sole è una stella G2, Betelgeuse (la stella rossa di Orione) è una M2 e Sirio (la più luminosa stella del nostro cielo) è una A1.

Lo spettro dell'idrogeno gioca un ruolo fondamentale in questa classificazione. Quando la temperatura della superficie della stella è più alta di 10,000 K, gli elettroni hanno abbastanza energia per lasciare il protone, e non si vedono spettri di idrogeno. Quando le linee dell'idrogeno sono preponderanti (queste linee sono chiamate serie di Balmer dello spettro visibile), sappiamo che la temperatura della stella è circa 10,000 K (Stelle della classe A). E quando la serie di Balmer è presente ma non dominante, sappiamo che la temperatura della stella è sotto i 10,000 K.

Effetto fotoelettrico

La meccanica quantistica è lo studio della dualità onda-corpuscolo di luce e materia. In molti esperimenti la luce si comporta come un'onda: basta considerare per esempio il fenomeno della diffrazione. Ci sono esperimenti, invece, dove il modello ondulatorio della luce non spiega i risultati ottenuti per via sperimentale.

Uno di questi esperimenti è noto come effetto fotoelettrico .

Racchiudendo sotto vuoto il metallo emettitore in un bulbo di vetro, nel quale venga introdotto un anodo collegato al polo positivo di una pila, si realizza una cellula fotoelettrica. E' possibile così raccogliere gli elettroni emessi dal metallo e misurare mediante un milliamperometro l'intensità della corrente.

Nel tardo 800 i risultati di alcuni esperimenti indicavano che, quando la luce ultravioletta colpiva una lastra di zinco carica negativamente, questa si scaricava.

In altre parole un certo numero di elettroni venivano emessi dalla piastra.

Ciò accadeva solo con luce ultravioletta. Con raggi di luce di frequenza più piccola (lunghezza d'onda più lunga) il fenomeno non si verificava. Altri esperimenti vennero effettuati e si dimostrò che per materiali diversi dallo zingo erano altre frequenze a permettere l'emissione di elettroni. Cosi si cercò di spiegare questo fatto.

Nell'ambito della fisica classica i risultati sperimentali potevano essere spiegati con l'idea che quando le onde luminose colpivano gli elettroni, questi si sarebbero messi a vibrare fino a quando non avessero raggiunta l'energia sufficiente per essere emessi dalla piastra. Tuttavia ci sono dei punti deboli in questa spiegazione.

• Gli elettroni vengono emessi immediatamente anche con luce di intensità minima.

• L'energia dell'elettrone emesso non dipende dall'intensità della luce.

• Per una data sostanza, nessun elettrone viene emesso sotto una certa frequenza. Al di sopra della frequenza critica, gli elettroni vengono emessi con una energia che cresce proporzionatamente alla frequenza del raggio luminoso.

Nel 1905, lo stesso anno in cui scrisse la teoria della Relatività Speciale , Albert Einstein avanzò una soluzione che rispondeva a tutti questi problemi.

L'energia della luce è quantizzata . In altre parole, piuttosto che essere distribuita lungo il fronte d''onda, l'energia arriva in piccoli pacchetti detti fotoni. E l'energia di questi fotoni è

dove

h è la costante di Plank ed è pari a

f è la frequenza della luce

Secondo la teoria di Einstein l'energia raggiante non solo viene emessa e assorbita per quanti, ma si propaga anghe per quanti. In altre parole Einstein ammise che l'energia elettromagnetica si propaga nello spazio concentrata in piccoli granuli e non distribuita sul fronte d'onda come è richiesto dalla teoria ondulatoria. Ognuno di tali granuli, cui egli diede il nome di fotone, ha un'energia data dalla formula di Plank, cioè W =h .f

Questa ipotesi spiega i risultati ottenuti sperimentalmente. Appena un fotone con sufficiente energia colpisce un elettrone, l'elettrone l'assorbe ed acquisisce una energia sufficiente a liberarsi dei suoi legami atomici. La quantità minima di energia necessaria a causare ciò corrisponde direttamente alla frequenza critica menzionata sopra. E quando il fotone ha maggior energia rispetto a quella richiesta, quella energia in più viene convertita in energia cinetica per gli elettroni emessi secondo la formula

dove

è il lavoro di estrazione ed è uguale a

dove

è la soglia fotoelettrica

Quando descritto precedentemente viene indicato e rappresentato dai termini dualità onda-corpusolo . La luce si comporta ancora come una sorgente continua di onde, ma presenta una quantizzazione di energia che ci costringe a considerarla anche come particella.

Costante di Planck:

Frequenza della luce:

L'energia di un fotone con questa frequenza è praticamente pari a

La lunghezza d'onda per questa frequenza della luce è

Questi sono i valori della energia, frequenza e lunghezza d'onda di un fotone che ricevete a 94.3 MHz sul vostro sintonizzatore radio FM.

Nel 1923 un fisico americano, Arthur Compton, eseguì un esperimento che convalidava la teoria di Einstein sulla quantizzazione dell'energia nella luce.

Come sapete una carica, come l'elettrone, genera un campo elettrico. Tuttavia, quando si muove, la carica genera sia un campo elettrico che un campo magnetico: una variazione periodica del campo elettromagnetico viene chiamata radiazione elettromagnetica, meglio nota come luce. La luce è semplicemente un campo elettrico oscillante assieme ad un campo magnetico oscillante perpendicolarmente al primo.

Compton sparò raggi x verso una lastra di grafite. Secondo la teoria classica (al contrario della meccanica quantistica), gli elettroni nella lastra avrebbero assorbito le onde luminose ed iniziato ad oscillare con la stessa frequenza della luce. In questo movimento avrebbero incominciato ad emettere radiazione elettromagnetica con la stessa frequenza dei raggi x, cioè , avrebbero cominciato ad emettere raggi x.

Si certo, vennero emessi raggi x, ma un congruo numero di essi aveva una frequenza minore di quelli iniziali! L' equazione di Einstein, applicata a questo caso, ci dice che questi raggi possedevano meno energia. L'interpretazione di questo risultato portò a confermare che i fotoni esistevano davvero e che quando essi si scontravano con gli elettroni della grafite cedevano un pò di energia agli elettroni. Una teoria è buona quanto l'evidenza dei fatti sperimentali la supporta, e questa era un'ottima prova dell'esistenza di fotoni.

Compton riuscì a dimostrare che la variazione di frequenza dei raggi x emessi era

dove m e è la massa di un elettrone e q è l'angolo con cui il fotone veniva diffuso dalla lastra di grafite. Un fotone che rimbalza con un angolo di 90° subisce un cambio di frequenza di

oppure, in termini di lunghezza d'onda

Quest'ultimo valore viene chiamato Lunghezza d'onda di Compton dell'elettrone.

E allora qual'è la variazione di energia di un fotone riflesso a 90°?

Date un'occhiata alle espressioni per un attimo, non notate qualcosa?

Se sostituiamo D f con D E, avremo

E se ricordate la celebre equazione E = mc² potete concludere che questa è semplicemente l'energia a riposo di un elettrone. Tutto ciò ha profonde implicazioni!

Parallasse

Guardate qualcosa che sta davanti a voi poi muovete la testa prima a sinistra e poi a destra.

La posizione dell'oggetto sembra spostarsi?

Questo fenomeno è chiamato parallasse .

Le stelle sembrano muoversi perchè si muove la Terra sulla sua orbita attorno al Sole.

Dalla figura si può notare che l'angolo p è metà dell'angolo totale, ed è chiamato il parallasse della stella . Il valore di p è molto, perché le stelle sono molto distanti; esso è misurato in secondi di arco: un secondo di arco equivale a 1/3600 di grado. Se p è molto piccolo 1/p è molto grande e può servire a misurare la distanza di una stella in parsec .

Parallasse (in secondi di arco):

Distanza della stella (in parsec):

I telescopi hanno dei limiti ed uno riguarda il fatto che è piccola la misura dell'angolo che possono rilevare. Il limite di una risoluzione angolare sulla Terra è circa 0.05" (0.05 sec. arc). Siete in grado di determinare la distanza di una stella che è a 45 parsecs misurando il suo parallasse?

parsec

secondi di arco

La risoluzione angolare richiesta per misurare una distanza di 45 parsecs è 0.022", che è molto più piccolo del limite base sulla Terra di 0.05". Quindi, il metodo di parallasse non può essere usato per questa stella. Sulla Terra, il parallasse può solo essere usato per determinare la distanza di una stella all'interno di raggio di circa 20 parsec:

parsec

Un altro limite dei telescopi installati sulla Terra è che l'atmosfera produce fenomeni di interferenza e diffrazione intorno ad essi,
alterando le immagini delle stelle. Questo è uno dei motivi per cui i grandi telescopi sono spesso costruiti sulle sommità di montagne:
la luce viaggia attraverso un minor strato d'aria per raggiungere il telescopio e non viene molto disturbata. Ecco perché il telescopio Hubble Space è così grande. Esso viaggia al di sopra di quasi tutta l'atmosfera terrestre. Inoltre può essere installato in una parte del cielo dove è sempre notte e si possono osservare le stelle(24 ore al giorno!)

Formazione del sistema solare

Una enorme nube di gas e polveri, chiamata nebulosa, occupa gli spazi interstellari. Sebbene la densità di queste nubi sia molto bassa, esse sono così ampie (circa 25 anni luce di diametro, in media )che contengono sufficienti elementi per formare molte stelle.

Secondo le ipotesi delle nebulose alla base della formazione delle stelle, queste infuocate nubi di gas e polvere iniziarono a collassare sotto la forza di gravità. Alcuni grossi domini delle nubi divennero più densi di altri, e, quando si restrinsero, la loro temperatura aumentò e iniziarono a diventare incandescenti. Queste larghe sezioni incandescenti di nubi (chiamate protostelle ) divennero, alla fine, stelle.

Il gigantesco vortice di elementi, che ruotavano attorno alle protostelle e che gradualmente si raffreddarono, servì come materiale preliminare per i pianeti. Quando questo materiale si raffreddò e condensò, ebbero origine i pianeti .

La seguente sequenza di figure illustra le ipotesi della nebulosa.

La Terra nel sistema solare

Poichè la Terra, nel suo moto di rotazione, percorre un'ellisse intorno al Sole, la sua distanza dal Sole non è costante. La distanza media della Terra dal Sole è chiamata Unità Astronomica (AU):

Distanza media Terra-Sole:

Distanza massima Terra-Sole:

Distanza Minima Terra-Sole:

L'asse terrestre è inclinato rispetto al Sole ed è proprio questa inclinazione ad influire sulle stagioni.

Dato che l'asse terrestre mantiene costante la sua direzione e che la Terra gira intorno al Sole, il primo emisfero, e successivamente l'altro, si presenta inclinato rispetto ai raggi del Sole. L'emisfero più inclinato rispetto ai raggi del sole subisce periodi più lunghi di luce diurna e più raggi diretti di luce solare. Questo causa la stagione più calda che chiamiamo estate. L'altro emisfero ha invece l'inverno, con giornate brevi e minor luce solare diretta.

La temperatura della superficie terrestre può variare fino a 150°C :

Temperatura massima = 60°C = 140°F

Temperatura media = 20°C = 68 ° F

Temperatura minima = –90°C = –130°F

La Terra, nel suo movimento ellittico intorno al Sole, non ha una velocità orbitale costante. Guardando l'immagine si può notare che la Terra viaggia più velocemente quando si avvicina al Sole, da cui subisce un effetto fionda lungo la traiettoria della sua orbita, quindi comincia a rallentare quando raggiunge una maggiore distanza dal Sole. La velocità media è calcolata usando la distanza media di una Unità Astronomica.

Velocità orbitale media:

Dato che si sposta lungo un'ellisse, la Terra cambia costantemente la sua direzione. La velocità è misurata in modulo e in direzione e se uno delle due caratteristiche cambia, si verifica una accelerazione. L'accelerazione centripeta è il risultato del cambiamento di direzione e dell' orientamento interno, verso il Sole.

Accelerazione centripeta media:

Se ti capita di guardare una stella alle 10 di un sabato notte e se guardi nuovamente il cielo alle 10 di domenica notte, la stella non è più nella stessa identica posizione. Questo perché la Terra si è un po' spostata sull'orbita mentre ha anche ruotato intorno al suo asse per compiere due giorni successivi. Non saresti in grado di notare la differenza in una sola notte e ad occhio nudo, ma attente misurazioni mostrano che sono richieste un po' meno di 24 ore (23 h, 56 min, 4.09 sec per essere esatti) per osservare la stella nella sua esatta posizione. Questo è chiamato tempo di rotazione siderale della Terra:

Periodo di rotazione siderale della Terra

in tempo solare medio:

Periodo di rotazione siderale della Terra in tempo siderale medio:

Velocità angolare di rotazione della Terra attorno al suo asse:

Un secondo di arco è definito come

La terza legge di keplero

I pianeti si muovono attorno al Sole descrivendo orbite ellittiche. Una ellisse ha due assi, il maggiore ed il minore, come mostrato qui sotto.

Il semiasse maggiore di una ellisse è la metà della lunghezza dell'asse stesso. Allo stesso modo, il semiasse minore è la metà della lunghezza dell'asse minore. Sapendo questo possiamo enunciare la

Terza Legge di Keplero sul Moto dei pianeti intorno al Sole:

Il quadrato del periodo orbitale siderale di un pianeta P è uguale al cubo del suo semiasse maggiore a .

Ma attenzione! Cos'è un periodo orbitale siderale? E' il tempo necessario ad un pianeta per girare intorno al Sole in relazione agli astri.

Per la Terra, esso è 365.2564 giorni.

Cosa accade a Febbraio ogni quattro anni?

Così, riassumendo,

, dove P è il periodo siderale del pianeta in anni e a è la lunghezza del suo semiasse maggiore in

Unità Astronomiche (AU) .

Variabili

Periodo siderale (in anni):

Semiasse maggiore (in AU):

Periodo siderale (in anni):

Lunghezza del semiasse maggiore (in AU):

Il periodo siderale di Plutone è P=248 anni . Qual è la lunghezza del suo semiasse maggiore a in Unità Astronomiche (AU)?

anni

a può essere pensato come la distanza media tra un pianeta ed il sole in AU.

Notiamo che per la Terra:

anni

Per definizione, una Unità Astronomica è la distanza media tra la Terra ed il Sole.

Orbite dei pianeti

In questa sezione illustreremo il calcolo per trovare il moto di un satellite, a partire dalla posizione e dalla velocità iniziale, e useremo il metodo di Runge-Kutta del quarto ordine.

Esamineremo due casi: uno il cui risultato è un'orbita circolare, l'altro , la cui velocità iniziale è minore rispetto alla prima, da come risultato un'orbita ellittica.

La forza dovuta al campo gravitazionale varia in modo inversamente proporzionale al quadrato della distanza dalla sorgente del campo. Pertanto le equazioni differenziali per il moto del pianeta sono:

	Originale	Perturbazione
posizione iniziale rispetto a x :
posizione iniziale rispetto a y :
velocità iniziale in direzione x :
velocità iniziale in direzione y:

tempo:

La traiettoria è un'ellisse se il pianeta è sottoposto ad un campo gravitazionale centrale diretto

verso il fuoco (prima legge di Kepler). Osserva la seguente animazione

Parallelogrammi

Area e Perimetro

Un parallelogramma è un quadrilatero che ha i lati opposti a due a due paralleli. Esistono due parallelogrammi particolari: il rettangolo che ha un angolo retto e il quadrato, che è un rettangolo con i lati tutti uguali tra loro.

Area:

Lunghezza del lato b:

Per trovare il perimetro bisogna saperne un pò di più.

Area di un parallelogramma

altezza

base

Perimetro:

Diagonale:

Area:

Se sai la lunghezza del lato di un quadrato:

Perimetro:

Diagonale:

Perimetro:

Area:

Trova l'area e il perimetro di un parallelogramma date le lunghezze dei due lati adiacenti ed un angolo, q . Se non ci riesci clicca qui!

Area:

Trova l'area di un parallelogramma di cui conosci la lunghezza della base, b, e l'altezza corrispondente, h.

Area:

Se lavori con un rettangolo, hai bisogno solamente della lunghezza dei due lati adiacenti.

Perimetro:

Diagonale minore:

Diagonale maggiore:

Altezza:

Gioco del 15

Riordina le tessere numerate secondo l’ordine naturale 1, 2, 3, … (con l’1 nella casella in alto a sinistra), facendo click su quella che vuoi spostare. Puoi selezionare uno schema dall’elenco in basso.