Nel circuito della figura si ha $ ∆V_1 = 10 V $ , $ ∆V_2 = 15 V $ ; le resistenze presenti sono:  $ R_1 = 20 Ω $ , $ R_2 = 60 Ω $ , $ R_3 = 40 Ω $.

Determina il verso e il valore di tutte le correnti presenti nel circuito.

risoluzione_di_un_circuito

 

Risoluzione

Dato che siamo in presenza di due generatori di corrente, dobbiamo risolvere il circuito mediante le leggi di Kirchhoff, in particolare la legge delle maglie e la legge dei nodi.

Cominciamo stabilendo dei verdi di percorrenza delle maglie e diamo dei versi arbitrari alle correnti: se le correnti che otterremo saranno positive, il verso da noi scelto sarà quello giusto, altrimenti le correnti avranno verso opposto.

risoluzione_circuito

Applichiamo la legge dei nodi, per la quale la somma delle correnti uscenti da un nodo è uguale alla somma della correnti entranti; in particolare, nel nodo B si ha che:

$ i_2 + i_3 = i_1 $

Applichiamo poi per le due maglie scelte la legge delle maglie, per cui la somma algebrica delle differenze di potenziale che si incontrano percorrendo una maglia è uguale a zero:

$ R_1 * i_1 + R_2 * i_2 – ∆V_1 = 0 $

$ 20 * i_1 + 60 * i_2 – 10 = 0 $

$ 2 i_1 + 6 i_2 – 1 = 0 $

 

Abbiamo poi:

$ ∆V_2 – R_3 * i_3 – R_1 * i_1 = 0 $

$ -15 – 40 * i_3 – 20 * i_1 = 0 $

$ – 3 – 8 i_3 – 4 i_1 = 0 $ 

Mettiamo a sistema le tre equazioni:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_1 = i_2 + i_3& \\ 2 i_1 + 6 i_2 – 1 = 0 & \\ – 3 – 8 i_3 – 4 i_1 = 0& \end{array} \right. $$

 

Risolviamo il sistema: cominciamo sostituendo nella seconda e nella terza equazione il valore di $i_1$ esplicitato nella prima:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_1 = i_2 + i_3& \\ 2 (i_2 + i_3) + 6 i_2 – 1 = 0 & \\ – 3 – 8 i_3 – 4 (i_2 + i_3) = 0& \end{array} \right. $$

 

Svolgiamo i calcoli:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_1 = i_2 + i_3& \\ 8 i_2 + 2 i_3 = 1 & \\ 12 i_3 + 4 i_2 = 3& \end{array} \right. $$

Dalla terza equazione, esplicitiamo $4 i_2$:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_1 = i_2 + i_3& \\ 8 i_2 + 2 i_3 = 1 & \\ 4 i_2 = 3 – 12 i_3& \end{array} \right. $$

Sostituiamo tale valore di $4 i_2 $ nella seconda equazione:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_1 = i_2 + i_3& \\ 2 (3 – 12 i_3) + 2 i_3 = 1 & \\ 4 i_2 = 3 – 12 i_3& \end{array} \right. $$

Svolgiamo i calcoli:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_1 = i_2 + i_3& \\ 6 – 22 i_3 = 1 & \\ 4 i_2 = 3 – 12 i_3& \end{array} \right. $$

Dalla seconda equazione possiamo ricavare il valore di $i_3$:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_1 = i_2 + i_3& \\ i_3 = \frac{5}{22} = 0,227 A & \\ 4 i_2 = 3 – 12 i_3& \end{array} \right. $$

 

Sostituiamo il valore di $i_3$ nella terza equazione:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_1 = i_2 + i_3& \\ i_3 = 0,227 A & \\ i_2 = \frac{3 – 12 * 0,227}{4} = 0,06 A& \end{array} \right. $$

 

Infine sostituiamo i valori trovati anche nella prima equazione:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_1 = 0,06 + 0,227 = 0,29 A& \\ i_3 = 0,227 A & \\ i_2 = 0,06 A& \end{array} \right. $$

 

Le tre correnti trovate hanno i seguenti valori:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_1 = 0,29 A& \\ i_3 = 0,227 A & \\ i_2 = 0,06 A& \end{array} \right. $$

 

Poiché tutte le correnti hanno segno positivo, il verso di ognuna di esse corrisponde a quello scelto in partenza.

 

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