Nel circuito della figura si ha $ ∆V_1 = 10 V $ , $ ∆V_2 = 15 V $ ; le resistenze presenti sono: $ R_1 = 20 Ω $ , $ R_2 = 60 Ω $ , $ R_3 = 40 Ω $.
Determina il verso e il valore di tutte le correnti presenti nel circuito.
Risoluzione
Dato che siamo in presenza di due generatori di corrente, dobbiamo risolvere il circuito mediante le leggi di Kirchhoff, in particolare la legge delle maglie e la legge dei nodi.
Cominciamo stabilendo dei verdi di percorrenza delle maglie e diamo dei versi arbitrari alle correnti: se le correnti che otterremo saranno positive, il verso da noi scelto sarà quello giusto, altrimenti le correnti avranno verso opposto.
Applichiamo la legge dei nodi, per la quale la somma delle correnti uscenti da un nodo è uguale alla somma della correnti entranti; in particolare, nel nodo B si ha che:
$ i_2 + i_3 = i_1 $
Applichiamo poi per le due maglie scelte la legge delle maglie, per cui la somma algebrica delle differenze di potenziale che si incontrano percorrendo una maglia è uguale a zero:
$ R_1 * i_1 + R_2 * i_2 – ∆V_1 = 0 $
$ 20 * i_1 + 60 * i_2 – 10 = 0 $
$ 2 i_1 + 6 i_2 – 1 = 0 $
Abbiamo poi:
$ ∆V_2 – R_3 * i_3 – R_1 * i_1 = 0 $
$ -15 – 40 * i_3 – 20 * i_1 = 0 $
$ – 3 – 8 i_3 – 4 i_1 = 0 $
Mettiamo a sistema le tre equazioni:
$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_1 = i_2 + i_3& \\ 2 i_1 + 6 i_2 – 1 = 0 & \\ – 3 – 8 i_3 – 4 i_1 = 0& \end{array} \right. $$
Risolviamo il sistema: cominciamo sostituendo nella seconda e nella terza equazione il valore di $i_1$ esplicitato nella prima:
$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_1 = i_2 + i_3& \\ 2 (i_2 + i_3) + 6 i_2 – 1 = 0 & \\ – 3 – 8 i_3 – 4 (i_2 + i_3) = 0& \end{array} \right. $$
Svolgiamo i calcoli:
$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_1 = i_2 + i_3& \\ 8 i_2 + 2 i_3 = 1 & \\ 12 i_3 + 4 i_2 = 3& \end{array} \right. $$
Dalla terza equazione, esplicitiamo $4 i_2$:
$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_1 = i_2 + i_3& \\ 8 i_2 + 2 i_3 = 1 & \\ 4 i_2 = 3 – 12 i_3& \end{array} \right. $$
Sostituiamo tale valore di $4 i_2 $ nella seconda equazione:
$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_1 = i_2 + i_3& \\ 2 (3 – 12 i_3) + 2 i_3 = 1 & \\ 4 i_2 = 3 – 12 i_3& \end{array} \right. $$
Svolgiamo i calcoli:
$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_1 = i_2 + i_3& \\ 6 – 22 i_3 = 1 & \\ 4 i_2 = 3 – 12 i_3& \end{array} \right. $$
Dalla seconda equazione possiamo ricavare il valore di $i_3$:
$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_1 = i_2 + i_3& \\ i_3 = \frac{5}{22} = 0,227 A & \\ 4 i_2 = 3 – 12 i_3& \end{array} \right. $$
Sostituiamo il valore di $i_3$ nella terza equazione:
$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_1 = i_2 + i_3& \\ i_3 = 0,227 A & \\ i_2 = \frac{3 – 12 * 0,227}{4} = 0,06 A& \end{array} \right. $$
Infine sostituiamo i valori trovati anche nella prima equazione:
$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_1 = 0,06 + 0,227 = 0,29 A& \\ i_3 = 0,227 A & \\ i_2 = 0,06 A& \end{array} \right. $$
Le tre correnti trovate hanno i seguenti valori:
$$ \left\{ \begin{array}{ll} i_1 = 0,29 A& \\ i_3 = 0,227 A & \\ i_2 = 0,06 A& \end{array} \right. $$
Poiché tutte le correnti hanno segno positivo, il verso di ognuna di esse corrisponde a quello scelto in partenza.